Ejercicio resuelto de Posición relativa · Matemáticas I

Determinar $m$ y $p$ para que las rectas $mx+3y+5=0$ y $2x+6y-p=0$:

a) Sean coincidentes.
b) Se corten en $(-1,2)$.

Las rectas son coincidentes si sus coeficientes y término independiente son proporcionales; se cortan en un punto si ese punto pertenece a ambas.

a) Coincidentes: ${\displaystyle \frac{m}{2}}={\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{5}{-p}}$. De ${\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$: ${\displaystyle \frac{m}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow m=1$ y ${\displaystyle \frac{5}{-p}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow -p=10\Rightarrow p=-10$.

b) Si se cortan en $(-1,2)$, el punto pertenece a ambas rectas:
$m(-1)+3\cdot 2+5=0\Rightarrow -m+11=0\Rightarrow m=11$.
$2(-1)+6\cdot 2-p=0\Rightarrow 10-p=0\Rightarrow p=10$.