Ejercicio resuelto de Estudio de funciones · Matemáticas I

Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa las curvas respecto a ellas:

a) $f(x)={\displaystyle \frac{2x^2+1}{x^2-1}}$

b) $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-3x}{x^2}}$

$\mathbf{\text{a)}}f(x)={\displaystyle \frac{2x^2+1}{x^2-1}}$

$\mathbf{\text{As}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{verticales:}}$ anulamos el denominador: $x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1$ (el numerador $2x^2+1$ no se anula ahí, así que sí hay asíntotas). Factorizamos $x^2-1=(x-1)(x+1)$ y estudiamos el signo a cada lado.

En $x=-1$ (numerador $\to 3>0$):

${\displaystyle \underset{x\to -1^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{2x^2+1}{x^2-1}}=+\mathrm{\infty },\underset{x\to -1^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{2x^2+1}{x^2-1}}=-\mathrm{\infty }}$

En $x=1$ (numerador $\to 3>0$):

${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{2x^2+1}{x^2-1}}=-\mathrm{\infty },\underset{x\to 1^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{2x^2+1}{x^2-1}}=+\mathrm{\infty }}$

$\mathbf{\text{As}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntota}}\mathbf{\text{horizontal:}}$ numerador y denominador tienen el mismo grado, así que el límite es el cociente de los coeficientes principales:

${\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{2x^2+1}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{2}{1}}=2\Rightarrow y=2}$

Al haber asíntota horizontal no hay asíntota oblicua.

$\mathbf{\text{Posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{curva:}}$ estudiamos el signo de la diferencia con la asíntota:

${\displaystyle f(x)-2={\displaystyle \frac{2x^2+1}{x^2-1}}-2={\displaystyle \frac{2x^2+1-2(x^2-1)}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{3}{x^2-1}}}$

Cuando $x\to \pm \mathrm{\infty }$ se cumple $x^2-1>0$, luego $f(x)-2>0$: la curva queda $\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{encima}}$ de $y=2$ en ambos extremos. Por ejemplo $f(100)={\displaystyle \frac{20001}{9999}}\approx \mathrm{2,0003}>2$.

$\mathbf{\text{b)}}f(x)={\displaystyle \frac{x^2-3x}{x^2}}$

Simplificamos sacando factor común en el numerador: $f(x)={\displaystyle \frac{x(x-3)}{x^2}}={\displaystyle \frac{x-3}{x}}$ (válido para $x\mathrm{\ne }0$).

$\mathbf{\text{As}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntota}}\mathbf{\text{vertical:}}$ el denominador se anula en $x=0$, y ahí el numerador vale $x-3\to -3<0$:

${\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{x-3}{x}}={\displaystyle \frac{-3}{0^{-}}}=+\mathrm{\infty },\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{x-3}{x}}={\displaystyle \frac{-3}{0^{+}}}=-\mathrm{\infty }}$

Por tanto $x=0$ es asíntota vertical.

$\mathbf{\text{As}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntota}}\mathbf{\text{horizontal:}}$ mismo grado arriba y abajo:

${\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x-3}{x}}=1\Rightarrow y=1}$

Al haber asíntota horizontal no hay asíntota oblicua.

$\mathbf{\text{Posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{curva:}}$ estudiamos el signo de la diferencia con la asíntota:

${\displaystyle f(x)-1={\displaystyle \frac{x-3}{x}}-1={\displaystyle \frac{x-3-x}{x}}={\displaystyle \frac{-3}{x}}}$

Cuando $x\to +\mathrm{\infty }$ es ${\displaystyle \frac{-3}{x}}<0$, luego la curva queda $\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{debajo}}$ de $y=1$ ($f(100)=\mathrm{0,97}$). Cuando $x\to -\mathrm{\infty }$ es ${\displaystyle \frac{-3}{x}}>0$, luego la curva queda $\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{encima}}$ de $y=1$ ($f(-100)=\mathrm{1,03}$).

$\mathbf{\text{Apartado}}\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{—}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica:}}$



$\mathbf{\text{Apartado}}\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{—}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica:}}$