Ejercicio resuelto de Operaciones con radicales · Matemáticas I

Calcular los valores de las siguientes potencias:

a) ${81}^{1\mathrm{/}4}$

b) ${81}^{1\mathrm{/}16}$

c) ${81}^{1\mathrm{/}16}\cdot 3^{1\mathrm{/}8}$

d) ${27}^{8\mathrm{/}3}$

a) Descomponemos la base como potencia de $3$ y aplicamos la propiedad $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$:

${81}^{1\mathrm{/}4}=(3^4{)}^{1\mathrm{/}4}=3^{4\cdot \frac{1}{4}}=3^1=3$

b) Procedemos igual; el exponente queda $4\cdot \frac{1}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$:

${81}^{1\mathrm{/}16}=(3^4{)}^{1\mathrm{/}16}=3^{4\mathrm{/}16}=3^{1\mathrm{/}4}=\sqrt[4]{3}$

c) Primero reescribimos ${81}^{1\mathrm{/}16}=3^{1\mathrm{/}4}$ (apartado b). Como las dos potencias tienen la misma base, sumamos los exponentes poniéndolos con común denominador $8$:

${81}^{1\mathrm{/}16}\cdot 3^{1\mathrm{/}8}=3^{1\mathrm{/}4}\cdot 3^{1\mathrm{/}8}=3^{\frac{2}{8}+\frac{1}{8}}=3^{3\mathrm{/}8}=\sqrt[8]{3^3}=\sqrt[8]{27}$

d) Descomponemos $27=3^3$ y aplicamos potencia de una potencia. El exponente se simplifica: $3\cdot \frac{8}{3}=8$:

${27}^{8\mathrm{/}3}=(3^3{)}^{8\mathrm{/}3}=3^{3\cdot \frac{8}{3}}=3^8=6561$