Ejercicio resuelto de Operaciones con radicales · Matemáticas I

Escribir como potencias de exponente racional, con la base más simple posible, los siguientes radicales:

a) $\sqrt[3]{5}$

b) $\sqrt[5]{6^2}$

c) $\sqrt[3]{6^2}$

d) $\sqrt[3]{2^{-1}}$

e) $\sqrt[5]{2^7}$

f) $\sqrt[3]{9^2}$

g) $\sqrt[3]{2^5}$

h) $\sqrt[5]{8^3}$

Para pasar un radical a potencia de exponente racional usamos la regla

$\sqrt[q]{a^p}=a^{p\mathrm{/}q}$

Además, cuando la base sea una potencia de un número más pequeño, la sustituimos para dejar la base lo más simple posible (un número primo siempre que se pueda) y simplificamos la fracción del exponente.

a) La base $5$ ya es prima y no se puede simplificar más:

$\sqrt[3]{5}=5^{1\mathrm{/}3}$

b) Aplicamos la regla directamente. La base $6$ no es potencia de un número menor, así que se queda igual:

$\sqrt[5]{6^2}=6^{2\mathrm{/}5}$

c) Igual que antes, la base $6$ no se simplifica:

$\sqrt[3]{6^2}=6^{2\mathrm{/}3}$

d) El exponente negativo se mantiene en la fracción:

$\sqrt[3]{2^{-1}}=2^{-1\mathrm{/}3}$

e) La base $2$ ya es prima:

$\sqrt[5]{2^7}=2^{7\mathrm{/}5}$

f) Descomponemos la base: $9=3^2$, luego $9^2=(3^2{)}^2=3^4$:

$\sqrt[3]{9^2}=\sqrt[3]{(3^2{)}^2}=\sqrt[3]{3^4}=3^{4\mathrm{/}3}$

g) La base $2$ ya es prima:

$\sqrt[3]{2^5}=2^{5\mathrm{/}3}$

h) Descomponemos la base: $8=2^3$, luego $8^3=(2^3{)}^3=2^9$:

$\sqrt[5]{8^3}=\sqrt[5]{(2^3{)}^3}=\sqrt[5]{2^9}=2^{9\mathrm{/}5}$