Ejercicio resuelto de Operaciones con radicales · Matemáticas I

Operar y simplificar, dejando el resultado racionalizado:

a) $\sqrt[3]{\sqrt{3\sqrt[3]{3}}}$

b) ${\displaystyle \frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{12}\cdot \sqrt[3]{12}}}}{\sqrt[3]{4}}}$

a) Pasamos todo a potencias de exponente fraccionario y operamos de dentro hacia fuera.

Radicando interior:

$3\cdot \sqrt[3]{3}=3^1\cdot 3^{1\mathrm{/}3}=3^{1+\frac{1}{3}}=3^{4\mathrm{/}3}$

Raíz cuadrada (exponente $\frac{1}{2}$):

$\sqrt{3^{4\mathrm{/}3}}=3^{\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}}=3^{2\mathrm{/}3}$

Raíz cúbica (exponente $\frac{1}{3}$):

$\sqrt[3]{3^{2\mathrm{/}3}}=3^{\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}}=3^{2\mathrm{/}9}$

Por tanto:

$\sqrt[3]{\sqrt{3\sqrt[3]{3}}}=3^{2\mathrm{/}9}=\sqrt[9]{3^2}=\sqrt[9]{9}$

El resultado ya está racionalizado (no hay denominador con raíces): $\sqrt[9]{9}$.

b) Operamos primero el numerador, de dentro hacia fuera.

Producto interior:

$\sqrt[3]{12}\cdot \sqrt[3]{12}={12}^{1\mathrm{/}3}\cdot {12}^{1\mathrm{/}3}={12}^{2\mathrm{/}3}$

Raíz cúbica de ese resultado:

$\sqrt[3]{{12}^{2\mathrm{/}3}}={12}^{\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}}={12}^{2\mathrm{/}9}$

Raíz cúbica exterior:

$\sqrt[3]{{12}^{2\mathrm{/}9}}={12}^{\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{3}}={12}^{2\mathrm{/}27}$

Así, el numerador es ${12}^{2\mathrm{/}27}$. Descomponemos $12=2^2\cdot 3$:

${12}^{2\mathrm{/}27}=(2^2\cdot 3{)}^{2\mathrm{/}27}=2^{4\mathrm{/}27}\cdot 3^{2\mathrm{/}27}$

El denominador es $\sqrt[3]{4}=4^{1\mathrm{/}3}=2^{2\mathrm{/}3}=2^{18\mathrm{/}27}$.

Dividimos restando los exponentes de la base $2$:

${\displaystyle \frac{2^{4\mathrm{/}27}\cdot 3^{2\mathrm{/}27}}{2^{18\mathrm{/}27}}}=2^{\frac{4}{27}-\frac{18}{27}}\cdot 3^{2\mathrm{/}27}=2^{-14\mathrm{/}27}\cdot 3^{2\mathrm{/}27}$

Escribimos con exponentes positivos y como un único radical de índice $27$:

$2^{-14\mathrm{/}27}\cdot 3^{2\mathrm{/}27}={\displaystyle \frac{3^{2\mathrm{/}27}}{2^{14\mathrm{/}27}}}=\sqrt[27]{{\displaystyle \frac{3^2}{2^{14}}}}=\sqrt[27]{{\displaystyle \frac{9}{16384}}}$

Para racionalizar (quitar la raíz del denominador) multiplicamos dentro del radical por $2^{13}$ arriba y abajo, de modo que el denominador pase a $2^{27}$:

$\sqrt[27]{{\displaystyle \frac{9}{2^{14}}}}=\sqrt[27]{{\displaystyle \frac{9\cdot 2^{13}}{2^{27}}}}={\displaystyle \frac{\sqrt[27]{9\cdot 2^{13}}}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt[27]{73728}}{2}}$

Resultado racionalizado: ${\displaystyle \frac{\sqrt[27]{73728}}{2}}$ (equivalente a $\sqrt[27]{{\displaystyle \frac{9}{16384}}}\approx \mathrm{0,757}$).