Ejercicio resuelto de Operaciones con radicales · Matemáticas I

Hallar los radicales irreducibles de los siguientes:

a) $\sqrt[6]{8}$

b) $\sqrt[6]{27}$

c) $\sqrt[9]{27}$

d) $\sqrt[6]{81}$

e) $\sqrt[10]{1024}$

f) $\sqrt[6]{a^4}$

g) $\sqrt[9]{a^6{b}^3}$

Un radical es irreducible cuando el índice y los exponentes del radicando no tienen ningún factor común. Para reducirlo, dividimos el índice y todos los exponentes por su máximo común divisor (m.c.d.).

a) $\sqrt[6]{8}=\sqrt[6]{2^3}$. Como $\gcd (6,3)=3$, dividimos índice y exponente por 3:

$\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[2]{2}=\sqrt{2}$

b) $\sqrt[6]{27}=\sqrt[6]{3^3}$. Como $\gcd (6,3)=3$, dividimos por 3:

$\sqrt[6]{3^3}=\sqrt[2]{3}=\sqrt{3}$

c) $\sqrt[9]{27}=\sqrt[9]{3^3}$. Como $\gcd (9,3)=3$, dividimos por 3:

$\sqrt[9]{3^3}=\sqrt[3]{3}$

d) $\sqrt[6]{81}=\sqrt[6]{3^4}$. Como $\gcd (6,4)=2$, dividimos por 2:

$\sqrt[6]{3^4}=\sqrt[3]{3^2}=\sqrt[3]{9}$

e) $\sqrt[10]{1024}=\sqrt[10]{2^{10}}$. Como $\gcd (10,10)=10$, el radical desaparece:

$\sqrt[10]{2^{10}}=2$

f) $\sqrt[6]{a^4}$. Como $\gcd (6,4)=2$, dividimos por 2:

$\sqrt[6]{a^4}=\sqrt[3]{a^2}$

g) $\sqrt[9]{a^6{b}^3}$. Como $\gcd (9,6,3)=3$, dividimos por 3:

$\sqrt[9]{a^6{b}^3}=\sqrt[3]{a^{2}b}$