Ejercicio resuelto de Operaciones con radicales · Matemáticas I

Reducir los siguientes radicales a índice común, y ordenarlos de menor a mayor:

a) $\sqrt{6}$, $\sqrt[3]{15}$, $\sqrt[4]{20}$

b) $\sqrt{5}$, $\sqrt[4]{12}$, $\sqrt[6]{45}$

Para comparar radicales, los llevamos todos a un mismo índice (el m.c.m. de los índices) usando que $\sqrt[n]{a}=\sqrt[n\cdot k]{a^k}$, y después comparamos los radicandos.

a) Los índices son 2, 3 y 4; $\mathrm{mcm}(2,3,4)=12$. Multiplicamos cada exponente del radicando por lo que falta para llegar a índice 12:

$\sqrt{6}=\sqrt[12]{6^6}=\sqrt[12]{46656}$

$\sqrt[3]{15}=\sqrt[12]{{15}^4}=\sqrt[12]{50625}$

$\sqrt[4]{20}=\sqrt[12]{{20}^3}=\sqrt[12]{8000}$

Como ya tienen el mismo índice, ordenamos comparando los radicandos:

$8000<46656<50625$

luego:

$\sqrt[4]{20}<\sqrt{6}<\sqrt[3]{15}$

b) Los índices son 2, 4 y 6; $\mathrm{mcm}(2,4,6)=12$. Procedemos igual:

$\sqrt{5}=\sqrt[12]{5^6}=\sqrt[12]{15625}$

$\sqrt[4]{12}=\sqrt[12]{{12}^3}=\sqrt[12]{1728}$

$\sqrt[6]{45}=\sqrt[12]{{45}^2}=\sqrt[12]{2025}$

Comparando los radicandos:

$1728<2025<15625$

luego:

$\sqrt[4]{12}<\sqrt[6]{45}<\sqrt{5}$