Ejercicio resuelto de Operaciones con radicales · Matemáticas I

Efectuar:

a) ${\displaystyle \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{2}}}$

b) ${\displaystyle \frac{\sqrt[6]{5}}{\sqrt{5}}}$

c) ${\displaystyle \frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{4}}}$

d) $\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1536}{729}}}$

e) $\sqrt{{\displaystyle \frac{125}{16}}}$

f) $\sqrt{{\displaystyle \frac{16}{625}}}$

g) ${\displaystyle \frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{4}}}$

h) $\sqrt{{\displaystyle \frac{75}{4}}}$

i) ${\displaystyle \frac{\sqrt[3]{3}}{7}}\cdot \sqrt[3]{{\displaystyle \frac{124}{3}}}$

a) Pasamos las raíces a potencias y restamos exponentes (misma base): ${\displaystyle \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{2^{1\mathrm{/}3}}{2^{1\mathrm{/}2}}}=2^{1\mathrm{/}3-1\mathrm{/}2}=2^{2\mathrm{/}6-3\mathrm{/}6}=2^{-1\mathrm{/}6}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt[6]{2}}}$

b) Igual con base $5$: ${\displaystyle \frac{\sqrt[6]{5}}{\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{5^{1\mathrm{/}6}}{5^{1\mathrm{/}2}}}=5^{1\mathrm{/}6-3\mathrm{/}6}=5^{-2\mathrm{/}6}=5^{-1\mathrm{/}3}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{5}}}$

c) Mismo índice, agrupamos en una sola raíz: ${\displaystyle \frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{4}}}=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{16}{4}}}=\sqrt[3]{4}$

d) Descomponemos en factores primos: $1536=2^9\cdot 3$ y $729=3^6$. Entonces $\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1536}{729}}}={\displaystyle \frac{\sqrt[3]{2^9\cdot 3}}{\sqrt[3]{3^6}}}={\displaystyle \frac{2^3\cdot \sqrt[3]{3}}{3^2}}={\displaystyle \frac{8\sqrt[3]{3}}{9}}$

e) Separamos numerador y denominador y extraemos: $\sqrt{{\displaystyle \frac{125}{16}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{125}}{\sqrt{16}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5^3}}{4}}={\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{4}}$

f) Ambos son cuadrados perfectos: $\sqrt{{\displaystyle \frac{16}{625}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{625}}}={\displaystyle \frac{4}{25}}$

g) Mismo índice $4$: ${\displaystyle \frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{4}}}=\sqrt[4]{{\displaystyle \frac{8}{4}}}=\sqrt[4]{2}$

h) Separamos y extraemos: $\sqrt{{\displaystyle \frac{75}{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{25\cdot 3}}{2}}={\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2}}$

i) Metemos todo bajo la misma raíz cúbica y simplificamos: ${\displaystyle \frac{\sqrt[3]{3}}{7}}\cdot \sqrt[3]{{\displaystyle \frac{124}{3}}}={\displaystyle \frac{1}{7}}\sqrt[3]{3\cdot {\displaystyle \frac{124}{3}}}={\displaystyle \frac{1}{7}}\sqrt[3]{124}={\displaystyle \frac{\sqrt[3]{124}}{7}}$

Como $124=2^2\cdot 31$, no contiene ningún factor al cubo, así que la raíz no se simplifica más.