Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Región de Murcia · 2023

P2. Un motor oscila armónicamente en el eje vertical, $y$, unido a una cuerda tensa tal que excita en ella un movimiento ondulatorio que se propaga a lo largo del eje $x$. En un cierto instante la distancia entre dos máximos consecutivos de la cuerda es de $50\text{ cm}$ y el mínimo tiempo que tarda un punto de la cuerda en pasar de la elongación máxima a elongación nula es de $1\text{ s}$. Además sabemos que la velocidad vertical máxima de un punto de la cuerda es de $5\pi \text{ cm/s}$ y que en $t=0$ la cuerda en el origen del eje $x$ tiene elongación máxima. Determinar:
a) La frecuencia y la velocidad de propagación de la onda. (1 punto)
b) La ecuación del movimiento ondulatorio. (1 punto)
c) La diferencia de fase, en un mismo instante, entre dos puntos que distan $\mathrm{37,5}\text{ cm}$ en la dirección de propagación. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La distancia entre dos máximos consecutivos es una longitud de onda completa:

$\lambda =50\text{ cm}=\mathrm{0,50}\text{ m}$

El mínimo tiempo que tarda un punto en pasar de la elongación máxima a la elongación nula es un cuarto de periodo, pues en un movimiento armónico simple ese recorrido ocupa la cuarta parte del ciclo:

${\displaystyle \frac{T}{4}}=1\text{ s}\Rightarrow T=4\text{ s}$

La frecuencia es la inversa del periodo y la velocidad se obtiene de la relación fundamental de las ondas:

$f={\displaystyle \frac{1}{T}}=\mathrm{0,25}\text{ Hz}v=\lambda f=\mathrm{0,50}\cdot \mathrm{0,25}=\mathrm{0,125}\text{ m/s}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{movimiento}}\mathbf{\text{ondulatorio.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Una onda armónica que avanza en el sentido positivo del eje $X$ se escribe:

$y(x,t)=A\cos (\omega t-kx+{\phi }_0)$

Calculamos la pulsación y el número de onda:

$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{ rad/s}k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}=4\pi \text{ rad/m}$

La amplitud se deduce de la velocidad vertical máxima de un punto, que vale $v_{y,\max }=A\omega$:

$A={\displaystyle \frac{v_{y,\max }}{\omega }}={\displaystyle \frac{5\pi }{\pi \mathrm{/}2}}=10\text{ cm}=\mathrm{0,10}\text{ m}$

Por último imponemos la condición inicial: en $t=0$ y $x=0$ la elongación es máxima, y con la forma coseno eso se cumple directamente para ${\phi }_0=0$.

$y(x,t)=\mathrm{0,10}\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}t-4\pi x)$

con $x$ e $y$ en metros y $t$ en segundos.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{diferencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fase,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{instante,}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{distan}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">37,5</mn><mtext> cm</mtext></mrow>}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










En un mismo instante la fase de un punto es $\varphi =\omega t-kx$, de modo que la diferencia de fase entre dos puntos separados una distancia $\mathrm{\Delta }x$ depende solo del término espacial:

$\mathrm{\Delta }\varphi =k\mathrm{\Delta }x$





Sustituimos con $\mathrm{\Delta }x=\mathrm{0,375}\text{ m}$:

$\mathrm{\Delta }\varphi =4\pi \cdot \mathrm{0,375}={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\text{ rad}$

Los dos puntos están desfasados $3\pi \mathrm{/}2\text{ rad}$. El resultado se entiende de un vistazo: la separación equivale a tres cuartos de longitud de onda, de manera que los dos puntos no oscilan ni en fase ni en oposición de fase.