Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Región de Murcia · 2020

C4. Un objeto de $7\text{ mm}$ de altura se coloca a $1\text{ cm}$ de distancia de una lente convergente de $50$ dioptrías. Calcular la posición y tamaño de la imagen formada y realizar una representación geométrica incluyendo el trazado de rayos correspondiente. (1 punto)

$\mathbf{\text{C4.}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">7</mn><mtext> mm</mtext></mrow>}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{coloca}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mtext> cm</mtext></mrow>}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{convergente}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">50</mn>}\mathbf{\text{dioptr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{formada}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{realizar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{geom}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{trica}}\mathbf{\text{incluyendo}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{correspondiente.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Trabajamos con el criterio de signos habitual: la luz viaja de izquierda a derecha y el objeto, situado delante de la lente, tiene abscisa negativa, $s=-1\text{ cm}$.

La potencia es la inversa de la distancia focal imagen:

$f^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{P}}={\displaystyle \frac{1}{50}}=\mathrm{0,02}\text{ m}=2\text{ cm}$

Conviene fijarse en la relación entre ambas distancias: el objeto está a $1\text{ cm}$ y el foco a $2\text{ cm}$, de manera que se encuentra entre el foco y la lente. Es la configuración propia de una lupa.

Aplicamos la ecuación de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{1}}=-\mathrm{0,5}{\text{cm}}^{-1}$

$s^{\mathrm{\prime }}=-2\text{ cm}$

El signo negativo indica que la imagen se forma a la izquierda de la lente, en el mismo lado que el objeto: es virtual, pues no se cortan los rayos sino sus prolongaciones.










El aumento lateral vale:

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{-2}{-1}}=+2$

Al ser positivo, la imagen es derecha, y al ser mayor que la unidad, está aumentada:

$y^{\mathrm{\prime }}=\beta y=2\cdot 7=14\text{ mm}$





El trazado de rayos confirma el cálculo. El rayo paralelo al eje sale de la lente pasando por el foco imagen y el rayo que atraviesa el centro óptico no se desvía; ambos divergen a la derecha de la lente y solo se cortan sus prolongaciones hacia atrás.

Se obtiene, por tanto, una imagen virtual, derecha y aumentada, de $14\text{ mm}$ de altura, situada a $2\text{ cm}$ de la lente y en el mismo lado que el objeto: exactamente el comportamiento de una lupa.