Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Región de Murcia · 2020

P4. (3 puntos)

Se tiene una lente biconvexa de $\mathrm{2,5}\text{ D}$ de potencia, hecha de un material cuyo índice de refracción es $\mathrm{1,5}$. Se sabe que el radio de una de las caras es de $30\text{ cm}$.

a) Calcular la velocidad de la luz en el interior de la lente. (1 punto)

b) Obtener el radio de la otra cara. (1 punto)

c) A una distancia de $60\text{ cm}$ delante de la lente se coloca un objeto de $3\text{ cm}$ de altura. Determinar la posición de la imagen y explicar si es real o virtual. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{interior}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El índice de refracción relaciona la velocidad de la luz en el vacío con la velocidad en el medio, de modo que basta despejar esta última.

$v={\displaystyle \frac{c}{n}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8\text{ m/s}}{\mathrm{1,5}}}=2\cdot {10}^8\text{ m/s}$

La luz viaja más despacio que en el vacío, como corresponde a un medio con $n>1$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Obtener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{otra}}\mathbf{\text{cara.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Aplicamos la ecuación del constructor de lentes, válida para una lente delgada en aire, que liga la potencia con los radios de las dos caras.

$P=(n-1)({\displaystyle \frac{1}{R_1}}-{\displaystyle \frac{1}{R_2}})$

Con el criterio de signos habitual, y con la luz incidiendo de izquierda a derecha, en una lente biconvexa la primera cara tiene $R_1>0$ y la segunda $R_2<0$. Tomamos $R_1=+\mathrm{0,30}\text{ m}$ y despejamos.

${\displaystyle \frac{1}{R_2}}={\displaystyle \frac{1}{R_1}}-{\displaystyle \frac{P}{n-1}}=\mathrm{3,33}{\text{m}}^{-1}-5{\text{m}}^{-1}=-\mathrm{1,67}{\text{m}}^{-1}$

$R_2=-\mathrm{0,60}\text{ m}$

La otra cara tiene por tanto un radio de $60\text{ cm}$, y el signo negativo confirma que es convexa, coherente con una lente biconvexa.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">60</mn><mtext> cm</mtext></mrow>}\mathbf{\text{delante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{coloca}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mtext> cm</mtext></mrow>}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{altura.}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{explicar}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{real}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{virtual.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La distancia focal imagen es la inversa de la potencia.

$f^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{P}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{2,5}\text{ D}}}=\mathrm{0,40}\text{ m}$

El objeto está delante de la lente, luego $s=-\mathrm{0,60}\text{ m}$. Aplicamos la ecuación de las lentes delgadas.

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}=\mathrm{2,5}{\text{m}}^{-1}-\mathrm{1,67}{\text{m}}^{-1}=\mathrm{0,833}{\text{m}}^{-1}$

$s^{\mathrm{\prime }}=+\mathrm{1,20}\text{ m}$










Como $s^{\mathrm{\prime }}>0$, la imagen se forma detrás de la lente, en el lado de la luz emergente: es una imagen real. El aumento lateral acaba de describirla.

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}=-2\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}=-6\text{ cm}$





La imagen es, por tanto, real, invertida y del doble de tamaño que el objeto, y se forma a $\mathrm{1,20}\text{ m}$ detrás de la lente.