Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Región de Murcia · 2021

P4. Una persona hipermétrope utiliza unas gafas de $6\text{ D}$ de potencia.

a) Calcular la distancia focal de la lente. (1 punto)

b) Suponiendo la lente simétrica y de radio $10\text{ cm}$ ¿qué velocidad tendrá la luz en su interior? (1 punto)

c) Si utilizamos la lente para ver un libro a $40\text{ cm}$ de distancia ¿Dónde obtendremos la imagen? Resuelva este apartado analítica y gráficamente. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{focal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La potencia de una lente delgada es la inversa de su distancia focal imagen, con la potencia en dioptrías y la focal en metros:

$f^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{P}}={\displaystyle \frac{1}{6}}=\mathrm{0,167}\text{ m}$

La distancia focal es de $\mathrm{16,7}\text{ cm}$. Al ser la potencia positiva se trata de una lente convergente, como corresponde a la corrección de la hipermetropía.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Suponiendo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{sim}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{trica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{radio}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mtext> cm</mtext></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{interior?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Aplicamos la ecuación del constructor de lentes. Para una lente biconvexa simétrica, con el criterio de signos habitual, $R_1=+\mathrm{0,10}\text{ m}$ y $R_2=-\mathrm{0,10}\text{ m}$, de modo que el paréntesis vale:

${\displaystyle \frac{1}{R_1}}-{\displaystyle \frac{1}{R_2}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,10}}}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,10}}}=20{\text{m}}^{-1}$

Sustituimos y despejamos el índice de refracción:

$6=(n-1)\cdot 20\Rightarrow n=\mathrm{1,3}$

La velocidad de la luz en un medio de índice $n$ es:

$v={\displaystyle \frac{c}{n}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,3}}}=\mathrm{2,31}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

En el interior de la lente la luz viaja a $\mathrm{2,31}\cdot {10}^8\text{ m/s}$, menor que en el vacío como debe ocurrir en cualquier medio material.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{utilizamos}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{ver}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{libro}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">40</mn><mtext> cm</mtext></mrow>}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distancia,}}\mathbf{\text{¿d}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nde}}\mathbf{\text{obtendremos}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen?}}\mathbf{\text{Resuelva}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anal}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Aplicamos la ecuación de las lentes delgadas con $s=-\mathrm{0,40}\text{ m}$, pues el objeto es real y está delante de la lente:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}=6-\mathrm{2,5}=\mathrm{3,5}{\text{m}}^{-1}$

$s^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,286}\text{ m}=\mathrm{28,6}\text{ cm}$

Como $s^{\mathrm{\prime }}>0$, la imagen se forma al otro lado de la lente: es real. El aumento lateral vale:

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,286}}{-\mathrm{0,40}}}=-\mathrm{0,71}$










El signo negativo indica que la imagen está invertida y su valor absoluto, menor que la unidad, que es más pequeña que el objeto. El trazado de rayos lo confirma: el rayo paralelo al eje refracta pasando por el foco imagen y el que atraviesa el centro óptico no se desvía, cortándose ambos al otro lado del eje.





La imagen se forma, por tanto, a $\mathrm{28,6}\text{ cm}$ de la lente y es real, invertida y reducida. Es coherente con la posición del objeto, situado más allá del doble de la focal, $\mathrm{33,3}\text{ cm}$: en ese caso la imagen queda siempre entre el foco imagen y su doble.