Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Cuestión 4.

a) [2 p.] Calcule la integral indefinida ${\displaystyle \int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx}$.
b) [0,5 p.] Determine el área del recinto limitado por el eje OX, la gráfica de la función $f(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}$ y la recta vertical $x=1$.

Para quitar la raíz hacemos el cambio de variable que la convierte en la nueva incógnita.

$t=\sqrt{x}\Rightarrow x=t^2,dx=2tdt$

$\int {\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}dx=\int {\displaystyle \frac{t}{1+t}}2tdt=2\int {\displaystyle \frac{t^2}{1+t}}dt$

La fracción es impropia, así que dividimos para bajar el grado del numerador:

${\displaystyle \frac{t^2}{1+t}}=t-1+{\displaystyle \frac{1}{1+t}}$

$2\int (t-1+{\displaystyle \frac{1}{1+t}})dt=t^2-2t+2\ln \mathrm{\mid }1+t\mathrm{\mid }+C$

Deshacemos el cambio; como $1+\sqrt{x}>0$, el valor absoluto sobra.

$\int {\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}dx=x-2\sqrt{x}+2\ln (1+\sqrt{x})+C$



La función solo existe para $x\ge 0$ y se anula en el origen, así que el recinto va de $x=0$ a $x=1$. En ese intervalo numerador y denominador son positivos, de modo que la curva queda por encima del eje y el área coincide con la integral definida.



Aplicamos la regla de Barrow con la primitiva del apartado anterior:

$F(1)=1-2+2\ln 2=-1+2\ln 2,F(0)=0$

$A=2\ln 2-1=\ln 4-1$

El área del recinto es $\ln 4-1\approx \mathrm{0,39}$ unidades cuadradas.