Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Cuestión 4.

En este ejercicio las cuestiones a) y b) son totalmente independientes.

a) [1 p.] Calcule ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\sqrt{x^2+1}-x)}$.

b) [1,5 p.] Calcule la integral indefinida ${\displaystyle \int x^2\ln (x)dx}$. Determine la primitiva de la función $f(x)=x^2\ln (x)$ cuya gráfica pasa por el punto de coordenadas $(1,0)$.

Al sustituir aparece la indeterminación $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$, que deshacemos multiplicando y dividiendo por el conjugado.

$\sqrt{x^2+1}-x={\displaystyle \frac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}}$

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}}=0$

El límite vale $0$: la diferencia entre la raíz y la recta se hace tan pequeña como se quiera.





El integrando es un polinomio por un logaritmo, así que integramos por partes derivando el logaritmo.

$u=\ln x\Rightarrow du={\displaystyle \frac{dx}{x}},dv=x^{2}dx\Rightarrow v={\displaystyle \frac{x^3}{3}}$

$\int x^2\ln xdx={\displaystyle \frac{x^3}{3}}\ln x-{\displaystyle \frac{1}{3}}\int x^{2}dx$

$\int x^2\ln xdx={\displaystyle \frac{x^3}{3}}\ln x-{\displaystyle \frac{x^3}{9}}+C$

De esa familia hay que quedarse con la que cumple $F(1)=0$; como $\ln 1=0$:

$-{\displaystyle \frac{1}{9}}+C=0\Rightarrow C={\displaystyle \frac{1}{9}}$

La primitiva pedida es $F(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}\ln x-{\displaystyle \frac{x^3}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}$.