Ejercicio resuelto de Cálculo de las constantes Ka y Kb · Química

Problema 3. Reacciones ácido-base.

El ácido benzoico, ${\text{C}}_7{\text{H}}_6{\text{O}}_2$, es un ácido monoprótico que se utiliza como conservante y se identifica con el código europeo E-210. En una industria alimentaria, se prepara una disolución de ácido benzoico de concentración 0,01 mol·L${}^{-1}$.

a) En la disolución acuosa preparada, el ácido benzoico se encuentra ionizado en un 7,6 %. Calcule la constante de acidez, $K_a$, y el pH de la disolución. (1,2 puntos)
b) Para conservar aceitunas, la legislación fija un máximo de 0,5 g de ácido benzoico por kg de aceitunas. Calcule el volumen de la disolución de ácido benzoico 0,01 M preparada que hay que introducir en un bote que contiene 2 kg de aceitunas para ajustarse a este máximo legal. (0,8 puntos)

Datos: Masas atómicas relativas: $H=\mathrm{1,0}$; $C=\mathrm{12,0}$; $O=\mathrm{16,0}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{acidez,}}{K}_a\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{pH}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{disoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1,2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El grado de ionización dice qué fracción del ácido se ha disociado, así que da directamente las concentraciones en el equilibrio.

$\mathrm{H}\mathrm{A}\rightleftharpoons {\mathrm{H}}^{+}+{\mathrm{A}}^{-}$

$[{\mathrm{H}}^{+}]=[{\mathrm{A}}^{-}]=\alpha \cdot c=\mathrm{0,076}\cdot \mathrm{0,01}=\mathrm{7,6}\cdot {10}^{-4}\text{ mol/L}$

$[\mathrm{H}\mathrm{A}]=c(1-\alpha )=\mathrm{0,01}\cdot \mathrm{0,924}=\mathrm{9,24}\cdot {10}^{-3}\text{ mol/L}$

$K_a=\frac{[{\mathrm{H}}^{+}][{\mathrm{A}}^{-}]}{[\mathrm{H}\mathrm{A}]}=\frac{(\mathrm{7,6}\cdot {10}^{-4}{)}^2}{\mathrm{9,24}\cdot {10}^{-3}}=\mathrm{6,25}\cdot {10}^{-5}$

$\mathrm{p}\mathrm{H}=-\log (\mathrm{7,6}\cdot {10}^{-4})=\mathrm{3,12}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{volumen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{disoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{cido}}\mathbf{\text{benzoico}}\mathbf{\text{0,01}}\mathbf{\text{M}}\mathbf{\text{preparada}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{introducir}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{bote}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{aceitunas}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{ajustarse}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{legal.}}\mathbf{\text{(0,8}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El límite es de 0,5 g por kilo, así que para 2 kg:

$m_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\mathrm{0,5}\cdot 2=\mathrm{1,0}\text{ g de }\acute{\text{a}}\text{cido benzoico}$

Con $M({\mathrm{C}}_7{\mathrm{H}}_6{\mathrm{O}}_2)=7\cdot \mathrm{12,0}+6\cdot \mathrm{1,0}+2\cdot \mathrm{16,0}=\mathrm{122,0}$ g/mol:

$n=\frac{\mathrm{1,0}}{\mathrm{122,0}}=\mathrm{8,20}\cdot {10}^{-3}\text{ mol}$

$V=\frac{n}{c}=\frac{\mathrm{8,20}\cdot {10}^{-3}}{\mathrm{0,01}}=\mathrm{0,820}\text{ L}=820\text{ mL}$

Obsérvese que aquí no interviene el grado de ionización: la legislación limita la $\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{total}}$ de ácido benzoico añadido, esté disociado o no.