Ejercicio resuelto de Cálculo de las constantes Ka y Kb · Química

PREGUNTA 4 [2 puntos (1 punto por apartado)].
Se prepara una disolución acuosa de ácido cianhídrico, HCN, disolviendo 0,67 g del ácido en un volumen final de disolución de 500 mL. Si el pH de la disolución resultante es de 4,9, calcule:

4.1. El valor del grado de ionización del ácido.
4.2. El valor de la constante del ácido ($K_a$) y el valor de la constante de su base conjugada ($K_b$).

Datos: $K_w=\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-14}$.

$\mathbf{\text{4.1.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{grado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ionizaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{cido.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El ácido cianhídrico es un ácido débil monoprótico y se ioniza parcialmente:

$\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{N}+{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}\rightleftharpoons \mathrm{C}{\mathrm{N}}^{-}+{\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}$

Hacen falta dos cosas: la concentración inicial del ácido y la de protones en el equilibrio.

La concentración inicial se obtiene de la masa, con $M(\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{N})=\mathrm{1,0}+\mathrm{12,0}+\mathrm{14,0}=\mathrm{27,0}$ g/mol:

$n(\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{N})={\displaystyle \frac{\mathrm{0,67}}{\mathrm{27,0}}}=\mathrm{0,0248}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}$

$c={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0248}}{\mathrm{0,500}}}=\mathrm{0,0496}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{/}\mathrm{L}$

La concentración de protones sale del pH:

$[{\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}]={10}^{-\mathrm{p}\mathrm{H}}={10}^{-\mathrm{4,9}}=\mathrm{1,26}\cdot {10}^{-5}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{/}\mathrm{L}$

El grado de ionización es la fracción de ácido que se ha disociado, y como por cada molécula que se ioniza aparece un protón:

$\alpha ={\displaystyle \frac{[{\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}]}{c}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,26}\cdot {10}^{-5}}{\mathrm{0,0496}}}$

$\alpha =\mathrm{2,54}\cdot {10}^{-4}$

Es decir, un $\mathbf{\text{0,025}}\mathbf{\text{\%}}$: de cada cuatro mil moléculas de HCN, solo una cede su protón. El ácido cianhídrico es, en efecto, muy débil.



Se completa la tabla del equilibrio con lo ya calculado. Por cada protón que aparece se forma un $\mathrm{C}{\mathrm{N}}^{-}$ y desaparece un HCN:

$$	$\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{N}$	$\mathrm{C}{\mathrm{N}}^{-}$	${\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}$ Inicial (mol/L)	0,0496	0	0 Equilibrio (mol/L)	$\mathrm{0,0496}-x$	$x$	$x$

Con $x=\mathrm{1,26}\cdot {10}^{-5}$ mol/L, la cantidad de ácido disociada es despreciable frente a la inicial, como confirma el grado de ionización del apartado anterior:

$[\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{N}]=\mathrm{0,0496}-\mathrm{1,26}\cdot {10}^{-5}\approx \mathrm{0,0496}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{/}\mathrm{L}$

$K_a={\displaystyle \frac{[\mathrm{C}{\mathrm{N}}^{-}][{\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}]}{[\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{N}]}}={\displaystyle \frac{(\mathrm{1,26}\cdot {10}^{-5}{)}^2}{\mathrm{0,0496}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,58}\cdot {10}^{-10}}{\mathrm{0,0496}}}$

$K_a=\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-9}$

La base conjugada es el ion cianuro, y su equilibrio de hidrólisis es:

$\mathrm{C}{\mathrm{N}}^{-}+{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}\rightleftharpoons \mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{N}+\mathrm{O}{\mathrm{H}}^{-}$

Multiplicando las expresiones de $K_a$ y $K_b$ se cancelan las concentraciones de HCN y de $\mathrm{C}{\mathrm{N}}^{-}$ y queda el producto iónico del agua, de modo que:

$K_a\cdot K_b=K_w\Rightarrow K_b={\displaystyle \frac{K_w}{K_a}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-14}}{\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-9}}}$

$K_b=\mathrm{3,1}\cdot {10}^{-6}$

Nótese que $K_b$ es mucho mayor que $K_a$: el cianuro es una base apreciablemente más fuerte de lo que el HCN es como ácido, y por eso las disoluciones de cianuros son netamente básicas.