Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2022

PROBLEMA 2 - Interacción electromagnética

Una carga puntual fija $q_1={10}^{-9}\text{C}$ se encuentra situada a 1 m de otra carga puntual fija $q_2=-2q_1$.

a) Determina el punto de la recta que contiene las cargas en el cual el campo eléctrico es nulo. (1 punto)
b) Un protón con velocidad inicial nula se deja libre entre $q_1$ y $q_2$, a 90 cm de $q_2$. Determina la diferencia de energía potencial del protón entre el punto inicial y un punto situado a 10 cm de $q_2$. ¿Qué velocidad tendrá el protón cuando alcance este último punto? (1 punto)

Datos: constante de Coulomb, $k=9\cdot {10}^9\text{N}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{C}}^2$; masa del protón, $m_p=1,67\cdot {10}^{-27}\text{kg}$; carga del protón, $q=1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{cargas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{nulo.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










Teniendo en cuenta que $\mathrm{\mid }{q}_2\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }{q}_1\mathrm{\mid }$, es obvio que el campo sólo podrá anularse en un punto $P$ de la recta que no pertenezca al segmento que une las cargas y que esté más próximo a la carga $q_1$. Además, en dicho punto $P$ si el campo se anula, los vectores $\overrightarrow{E_1}$ y $\overrightarrow{E_2}$ tendrán el mismo módulo. Así:





$E_1=E_2$

$k\frac{\mathrm{\mid }{q}_1\mathrm{\mid }}{x^2}=k\frac{\mathrm{\mid }{q}_2\mathrm{\mid }}{(1+x{)}^2}$

$\frac{(1+x{)}^2}{x^2}=\frac{\mathrm{\mid }{q}_2\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }{q}_1\mathrm{\mid }}$

$\frac{1+x}{x}=\sqrt{\frac{2\mathrm{\mid }{q}_1\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }{q}_1\mathrm{\mid }}}=\sqrt{2}$

$1+x=x\sqrt{2}$

$1=x(\sqrt{2}-1)$

$x=\frac{1}{\sqrt{2}-1}\approx \mathrm{2,41}\text{ m}$

El campo se anulará en un punto $P$ de la recta que diste $2,41\text{m}$ de $q_1$ y $3,41\text{m}$ de $q_2$












Calculamos los potenciales en los puntos $A$ y $B$:

$V_A=V_{A{q}_1}+V_{A{q}_2}=k\frac{q_1}{r_{1A}}+k\frac{q_2}{r_{2A}}=9\cdot {10}^9(\frac{{10}^{-9}}{\mathrm{0,1}}+\frac{-2\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{0,9}})=70\text{ V}$

$V_B=V_{B{q}_1}+V_{B{q}_2}=k\frac{q_1}{r_{1B}}+k\frac{q_2}{r_{2B}}=9\cdot {10}^9(\frac{{10}^{-9}}{\mathrm{0,9}}+\frac{-2\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{0,1}})=-170\text{ V}$





Con lo que, la diferencia de energía potencial del protón al ser trasladado por el campo desde $A$ hasta $b$ será:

$\mathrm{\Delta }{E}_p=q\cdot \mathrm{\Delta }V=q\cdot (V_B-V_A)=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}(-170-70)=-\mathrm{3,84}\cdot {10}^{-17}\text{ J}$

Y como la fuerza eléctrica es conservativa, por el principio de conservación de la energía:

$\mathrm{\Delta }{E}_c+\mathrm{\Delta }{E}_p=0$

$\mathrm{\Delta }{E}_c=-\mathrm{\Delta }{E}_p$

$\frac{1}{2}m{v}^2=\mathrm{3,84}\cdot {10}^{-17}$

$v=\sqrt{\frac{2\cdot \mathrm{3,84}\cdot {10}^{-17}}{\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}}}=\mathrm{2,14}\cdot {10}^5\text{ m/s}$