Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2023

CUESTIÓN 2 - Interacción electromagnética





Dos cargas puntuales $q=-1\text{nC}$ están situadas en los puntos $A$ y $B$ de la circunferencia de radio $r$ de la figura. Representa en el punto O el vector campo eléctrico generado por cada carga y el vector campo total, indicando el ángulo que forma este último con el eje $x$. Razona el signo y valor de la carga $Q$ que habrá que situar en el punto $C$ (equidistante de $A$ y $B$) para que el campo total de las tres cargas sea nulo en el punto $O$.

Tenemos las cargas $q_A=q_B=-1\text{ nC}$ situadas en los puntos $A(-r,0)$ y $B(0,r)$










$\begin{array}{r}{\displaystyle \text{Campo }{\vec{E}}_A:}\\ {\displaystyle \overrightarrow{AO}}& {\displaystyle =(0,0)-(-r,0)=(r,0)}\\ {\displaystyle r_A}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\overrightarrow{AO}\mathrm{\mid }=r}\\ {\displaystyle {\widehat{u}}_{r_A}}& {\displaystyle =\frac{1}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{AO}\mathrm{\mid }}\overrightarrow{AO}=\frac{1}{r}(r,0)=(1,0)}\\ {\displaystyle {\vec{E}}_A}& {\displaystyle =k\frac{q_A}{r_A^2}{\widehat{u}}_{r_A}=k\frac{-1\cdot {10}^{-9}}{r^2}\vec{\mathrm{ı}}=-\frac{1\cdot {10}^{-9}k}{r^2}\vec{\mathrm{ı}}}\end{array}$





También es fácil ver que como $q_A=q_B$ y $r_A=r_B$, el vector $\overrightarrow{E_B}$ tendrá en su módulo igual al del vector $\overrightarrow{E_A}$ cambiando solo su dirección y setndio, que ahora vendrá dada por el vector $\vec{j}$. Por tanto:

${\vec{E}}_B=+E_B\vec{\mathrm{ȷ}}=+\frac{1\cdot {10}^{-9}k}{r^2}\vec{\mathrm{ȷ}}$

Por el principio de superposición:

${\vec{E}}_{\text{total}}={\vec{E}}_A+{\vec{E}}_B=-\frac{1\cdot {10}^{-9}k}{r^2}\vec{\mathrm{ı}}+\frac{1\cdot {10}^{-9}k}{r^2}\vec{\mathrm{ȷ}}$

Y el ángulo pedido por tanto:

$\tan (\alpha )=\frac{E_B}{-E_A}\Rightarrow \tan (\alpha )=-1\Rightarrow \alpha ={135}^{\circ }$

Conocido el ángulo $\alpha$ anterior, es obvio que $\overrightarrow{E_C}$ forma un ángulo de -45º con el eje $X$. Por tanto:











$$\begin{gathered} C(r\cos (-{45}^{\circ }),r\sin (-{45}^{\circ })) \\ C(\frac{\sqrt{2}}{2}r,-\frac{\sqrt{2}}{2}r) \end{gathered}$$
$\begin{array}{r}{\displaystyle \text{Campo }{\vec{E}}_C:}\\ {\displaystyle \overrightarrow{CO}}& {\displaystyle =(0,0)-(\frac{\sqrt{2}}{2}r,-\frac{\sqrt{2}}{2}r)=(-\frac{\sqrt{2}}{2}r,\frac{\sqrt{2}}{2}r)}\\ {\displaystyle r_C}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\overrightarrow{CO}\mathrm{\mid }=r}\\ {\displaystyle {\widehat{u}}_{r_C}}& {\displaystyle =\frac{1}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{CO}\mathrm{\mid }}\overrightarrow{CO}=\frac{1}{r}(-\frac{\sqrt{2}}{2}r,\frac{\sqrt{2}}{2}r)=\frac{\sqrt{2}}{2}(-\vec{\mathrm{ı}}+\vec{\mathrm{ȷ}})}\\ {\displaystyle {\vec{E}}_C}& {\displaystyle =k\frac{Q}{r_C^2}{\widehat{u}}_{r_C}=k\frac{Q}{r^2}\frac{\sqrt{2}}{2}(-\vec{\mathrm{ı}}+\vec{\mathrm{ȷ}})}\end{array}$





Por otro lado, queremos que sea ${\vec{E}}_A+{\vec{E}}_B+{\vec{E}}_C=\vec{0}$ y por tanto:

${\vec{E}}_C=-{\vec{E}}_A-{\vec{E}}_B$

${\vec{E}}_C=1\cdot {10}^{-9}\frac{k}{r^2}\vec{i}-1\cdot {10}^{-9}\frac{k}{r^2}\vec{j}$

${\vec{E}}_C=-1\cdot {10}^{-9}\frac{k}{r^2}(-\vec{i}+\vec{j})$

Igualando ambas expresiones de ${\vec{E}}_C:$

$k\frac{Q}{r^2}\frac{\sqrt{2}}{2}(-\vec{i}+\vec{j})=-1\cdot {10}^{-9}\frac{k}{r^2}(-\vec{i}+\vec{j})$

$Q\frac{\sqrt{2}}{2}=-1\cdot {10}^{-9}$

$Q=-\sqrt{2}\cdot {10}^{-9}\text{ C}=-\sqrt{2}\text{ nC}$