Ejercicio resuelto de Óptica · Física · 2022

PROBLEMA 3 - Óptica geométrica

A partir de un objeto de 15 cm se desea obtener una imagen invertida de tamaño 0,75 m sobre una pantalla. Para ello se dispone de una lente convergente de 4 dioptrías.

a) ¿Dónde hay que colocar el objeto respecto a la lente? ¿Dónde hay que colocar la pantalla? Realiza un trazado de rayos esquemático que represente lo calculado (1 punto).
b) Supongamos que se rompe la lente anterior y la cambiamos por otra cuya distancia focal imagen es la mitad que la del apartado a). ¿Cuál es la potencia de la nueva lente? Si la distancia entre el objeto y la pantalla es 1,0 m, determina la menor distancia a la que hay que situar la lente del objeto para obtener una imagen enfocada en la pantalla. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿D}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nde}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{colocar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente?}}\mathbf{\text{¿D}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nde}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{colocar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pantalla?}}\mathbf{\text{Realizar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{esquem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{represente}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{calculado.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Se nos dan los tamaños del objeto y la imagen

$y=15\text{cm};y^{\mathrm{\prime }}=-75\text{cm}$

Con el aumento lateral deducimos:

$A_L=\frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}=\frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}$

$\frac{-75}{15}=\frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}$

$s^{\mathrm{\prime }}=5s$

También conocemos la potencia:

$P=4D$

$\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}=4\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}=0,25\text{m}=25\text{ cm}$

Con la ecuación de las lentes:

$\frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}-\frac{1}{s}=\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}$

$\frac{1}{-5s}-\frac{1}{s}=\frac{1}{25}(s^{\mathrm{\prime }}=-5s)$

$\frac{1+5}{-5s}=\frac{1}{25}$

$s=\frac{-150}{5}=-30\text{ cm}$

$s^{\mathrm{\prime }}=-5s=-5(-30)=150\text{ cm}$

Hay que colocar el objeto a $30\text{cm}$ a la izquierda de la lente y la pantalla a $1,5\text{m}$ de la lente según el trazado.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Supongamos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{rompe}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cambiamos}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{otra}}\mathbf{\text{cuya}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{focal}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{a).}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nueva}}\mathbf{\text{lente?}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pantalla}}\mathbf{\text{es}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">1,0</mn><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>m</mtext></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{situar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{enfocada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pantalla.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Si cambiamos a una lente cuya distancia focal es la mitad que la anterior, la nueva potencia será:

$f^{\mathrm{\prime }}=\frac{25}{2}=12,5\text{cm}=0,125\text{m}$

$P=\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}=\frac{1}{0,125}=8\text{D}$

Si entre el objeto y la pantalla hay $1m$ de distancia habrá dos posiciones de la lente que nos proporcionarán una imagen enfocada sobre la pantalla.

La relación entre $s$ y $s^{\mathrm{\prime }}$:

$s^{\mathrm{\prime }}-s=1\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=1+s$

Y sustituyendo en la ecuación de las lentes:

$\frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}-\frac{1}{s}=\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}$

$\frac{1}{1+s}-\frac{1}{s}=8$

$\frac{-1}{s^2+s}=8$

$8s^2+8s+1=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}s=0,146\text{m. Est}\acute{\text{a}}\text{ en el trazo que se pide}\\ s=-0,854\text{m. Est}\acute{\text{a}}\text{ fuera del trazo que nos piden}\end{array}$

Por tanto, la menor de las distancias que nos piden nos dice que habrá ue situar la lente a $14,6\text{cm}$ del objeto (y por tanto a $85,4\text{cm}$ de la pantalla)