Ejercicio resuelto de Óptica · Física · 2023

PROBLEMA 3 - Óptica geométrica

Una lente delgada en aire tiene una distancia focal imagen de $-10$ cm. A 5 cm de la lente se sitúa un objeto de 2 cm de altura.

a) Calcula la posición y tamaño de la imagen. Razona si la lente es convergente o divergente. (1 punto)
b) Obtén razonadamente la posición de un objeto para que la imagen sea derecha y tenga un tamaño que sea la mitad que el del objeto. Justifica mediante un trazado de rayos la formación de la imagen. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen.}}\mathbf{\text{Razonar}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{convergente}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{divergente.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Como nos dicen que $f^{\mathrm{\prime }}<0$ ya sabemos que se trata de una lente divergente. Por tanto, con las ecuaciones de las lentes:

$\frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}-\frac{1}{s}=\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}$

$\frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}-\frac{1}{-5}=\frac{1}{-10}$

$\frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}=\frac{-3}{10}$

$s^{\mathrm{\prime }}=\frac{-10}{3}\text{cm}$

Y para el tamaño:

$A_L=\frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}=\frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}$

$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}y=\frac{\frac{-10}{3}}{-5}\cdot 2=\frac{4}{3}\text{cm}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Obtener}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{derecha}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto.}}\mathbf{\text{Justificar}}\mathbf{\text{mediante}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{formaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Se nos da como dato el aumento lateral $A_L=\frac{1}{2}$. Así:

$A_L=\frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}\Rightarrow s=2s^{\mathrm{\prime }}$

Y con la ecuación de las lentes, de nuevo:

$\frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}-\frac{1}{s}=\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}$

$\frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}-\frac{1}{2s^{\mathrm{\prime }}}=\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}(s=2s^{\mathrm{\prime }})$

$\frac{2-1}{2s^{\mathrm{\prime }}}=\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}$

$2s^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}$

$s=f^{\mathrm{\prime }}=-10\text{ cm}$

Hay que colocar el objeto sobre el foco imagen $F^{\mathrm{\prime }}$