Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

A.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Calcule el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones

$f(x)=2+x-x^2,g(x)=2x^2-4x\mathrm{.}$

Los extremos de integración son las abscisas donde se cortan las dos parábolas, así que igualamos y resolvemos.

$g(x)-f(x)=3x^2-5x-2=0$

$x={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{25+24}}{6}}={\displaystyle \frac{5\pm 7}{6}}\Rightarrow x=2,x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

Para saber cuál va por encima basta evaluar en un punto intermedio.

$x=0:g(0)=0<2=f(0)$



Integramos la diferencia entre la de arriba y la de abajo entre los dos cortes.

$\mathcal{A}={\int }_{-1\mathrm{/}3}^2(f(x)-g(x))dx={\int }_{-1\mathrm{/}3}^2(-3x^2+5x+2)dx$

$={[-x^3+{\displaystyle \frac{5x^2}{2}}+2x]}_{-1\mathrm{/}3}^2$

Aplicamos la regla de Barrow.

$=(-8+10+4)-({\displaystyle \frac{1}{27}}+{\displaystyle \frac{5}{18}}-{\displaystyle \frac{2}{3}})=6+{\displaystyle \frac{19}{54}}$

$\mathcal{A}={\displaystyle \frac{343}{54}}$

El área de la región es de $\frac{343}{54}\approx \mathrm{6,35}$ unidades de superficie.