Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

A.3 [hasta 2,5 puntos]
Asier tiene una urna con 4 bolas verdes y dos rojas. Lanza una moneda y si sale cara extrae una bola de la urna, y si sale cruz extrae dos bolas, sin reemplazamiento, de la urna.

a) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que Asier haya extraído dos bolas rojas?
b) [0,75 puntos] Calcula probabilidad de que no haya extraído ninguna bola roja.
c) [0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que al menos haya sacado una bola verde.
d) [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que haya salido cara sabiendo que al menos una bola es verde.

El experimento tiene dos etapas: primero el lanzamiento de la moneda y después la extracción, que es de una bola si sale cara y de dos sin reemplazamiento si sale cruz. La urna tiene $4$ bolas verdes y $2$ rojas, seis en total.

$P(\text{cara})=P(\text{cruz})=\dfrac{1}{2}$

Con cara solo se extrae una bola:

$P(V\mid\text{cara})=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3},\qquad P(R\mid\text{cara})=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

Con cruz se extraen dos bolas de golpe, de manera que las probabilidades se cuentan con combinaciones sobre las $\binom{6}{2}=15$ parejas posibles.

$P(2R\mid\text{cruz})=\dfrac{\binom{2}{2}}{\binom{6}{2}}=\dfrac{1}{15},\qquad P(2V\mid\text{cruz})=\dfrac{\binom{4}{2}}{\binom{6}{2}}=\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}$



$\textbf{a) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que Asier haya extraído dos bolas rojas?}$

Sacar dos bolas solo es posible cuando ha salido cruz, así que únicamente contribuye esa rama del árbol.

$P(2R)=P(\text{cruz})\cdot P(2R\mid\text{cruz})=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{15}=\dfrac{1}{30}$

La probabilidad de que Asier haya extraído dos bolas rojas es $\frac{1}{30}\approx 0{,}0333$, es decir, un $3{,}33\%$.

$\textbf{b) [0,75 puntos] Calcula probabilidad de que no haya extraído ninguna bola roja.}$

No sacar ninguna roja significa sacar una verde si salió cara, o dos verdes si salió cruz. Se aplica el teorema de la probabilidad total.

$P(\text{ninguna roja})=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{6}{15}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}$

$=\dfrac{5+3}{15}=\dfrac{8}{15}$

La probabilidad de que no haya extraído ninguna bola roja es $\frac{8}{15}\approx 0{,}5333$, es decir, un $53{,}33\%$.

$\textbf{c) [0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que al menos haya sacado una bola verde.}$

Lo más cómodo es pasar al suceso contrario: que no haya sacado ninguna verde equivale a que todas las bolas extraídas sean rojas.

$P(\text{ninguna verde})=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{15}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{30}=\dfrac{5+1}{30}=\dfrac{1}{5}$

$P(\text{al menos una verde})=1-P(\text{ninguna verde})=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$

La probabilidad de que al menos haya sacado una bola verde es $\frac{4}{5}=0{,}8$, es decir, un $80\%$.

$\textbf{d) [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que haya salido cara sabiendo que al menos una bola es verde.}$

Se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera, así que se aplica el teorema de Bayes con la probabilidad total ya calculada.

$P(\text{cara}\cap\text{al menos una verde})=P(\text{cara})\cdot P(V\mid\text{cara})=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{6}=\dfrac{1}{3}$

$P(\text{cara}\mid\text{al menos una verde})=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{5}}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{5}{4}=\dfrac{5}{12}$

Sabiendo que al menos una bola es verde, la probabilidad de que haya salido cara es $\frac{5}{12}\approx 0{,}4167$, es decir, un $41{,}67\%$.