Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

EJERCICIO 5. Estadística y Probabilidad.
En una ciudad, el 70 % de la población recibe publicidad de un establecimiento, de los cuales un 90 % realiza alguna compra en dicho establecimiento. También se sabe que de los que no reciben publicidad, un 60 % realiza alguna compra en dicho establecimiento.

a) ¿Qué porcentaje de la población de la ciudad realiza alguna compra en ese establecimiento?
b) Si elegimos una persona al azar que ha realizado alguna compra en ese establecimiento, ¿cuál es la probabilidad de que haya recibido publicidad del mismo?
c) ¿Son independientes los sucesos “realizar alguna compra en ese establecimiento” y “recibir publicidad del mismo”? Justifique la respuesta.

Nombramos los sucesos:

$R \equiv$ recibir publicidad del establecimiento,

$C \equiv$ realizar alguna compra en el establecimiento.

$P(R) = 0{,}70 \qquad P(C \mid R) = 0{,}90 \qquad P(C \mid \overline{R}) = 0{,}60$

Hacemos un diagrama de árbol con las dos etapas del experimento.



$\textbf{a) ¿Qué porcentaje de la población de la ciudad realiza alguna compra en ese establecimiento?}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total, sumando las dos ramas del árbol que acaban en compra.

$P(C) = P(R)\cdot P(C \mid R) + P(\overline{R})\cdot P(C \mid \overline{R})$

$P(C) = 0{,}70 \cdot 0{,}90 + 0{,}30 \cdot 0{,}60 = 0{,}63 + 0{,}18 = 0{,}81$

El 81 % de la población de la ciudad realiza alguna compra en ese establecimiento.

$\textbf{b) Si elegimos una persona al azar que ha realizado alguna compra en ese establecimiento, ¿cuál es la probabilidad de que haya recibido publicidad del mismo?}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado final y se pregunta por la causa. Utilizamos el teorema de Bayes.

$P(R \mid C) = \dfrac{P(R)\cdot P(C \mid R)}{P(C)} = \dfrac{0{,}70 \cdot 0{,}90}{0{,}81} = \dfrac{0{,}63}{0{,}81} = \dfrac{7}{9} \approx 0{,}7778$

La probabilidad de que una persona que ha comprado haya recibido publicidad es $\frac{7}{9} \approx 0{,}7778$, casi el 78 %.

$\textbf{c) ¿Son independientes los sucesos “realizar alguna compra en ese establecimiento” y “recibir publicidad del mismo”? Justifique la respuesta.}$

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades.

$P(R \cap C) = P(R)\cdot P(C \mid R) = 0{,}70 \cdot 0{,}90 = 0{,}63$

$P(R)\cdot P(C) = 0{,}70 \cdot 0{,}81 = 0{,}567$

$0{,}63 \neq 0{,}567$

Los sucesos no son independientes: recibir publicidad aumenta la probabilidad de comprar, como ya se veía al comparar $P(C \mid R) = 0{,}90$ con $P(C) = 0{,}81$.