Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

PREGUNTA 5. Estadística y probabilidad.
Una empresa de transporte decide renovar su flota de vehículos. Para ello encarga 240 vehículos al distribuidor A, 600 al distribuidor B y 360 al distribuidor C. Se sabe que el 10 % de los vehículos suministrados por el distribuidor A tienen algún defecto, siendo estas proporciones del 20 % y 15 % para los distribuidores B y C respectivamente.
Para aceptar o rechazar el pedido la empresa revisa un vehículo elegido al azar del total de vehículos, rechazando todo el pedido si el vehículo tiene algún defecto.

a) Determine el porcentaje de pedidos rechazados.
b) Si el vehículo revisado resulta ser NO defectuoso, calcule la probabilidad de que provenga del distribuidor A.

Nombramos los sucesos:

$A$, $B$ y $C$: el vehículo revisado procede del distribuidor A, B o C,

$D \equiv$ el vehículo tiene algún defecto.

En total se encargan $240 + 600 + 360 = 1200$ vehículos, de modo que las probabilidades de cada distribuidor son:

$P(A) = \dfrac{240}{1200} = 0{,}2 \qquad P(B) = \dfrac{600}{1200} = 0{,}5 \qquad P(C) = \dfrac{360}{1200} = 0{,}3$

$P(D \mid A) = 0{,}10 \qquad P(D \mid B) = 0{,}20 \qquad P(D \mid C) = 0{,}15$



$\textbf{a) Determine el porcentaje de pedidos rechazados.}$

El pedido se rechaza si el vehículo revisado tiene algún defecto, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(D) = P(A)P(D \mid A) + P(B)P(D \mid B) + P(C)P(D \mid C)$

$P(D) = 0{,}2 \cdot 0{,}10 + 0{,}5 \cdot 0{,}20 + 0{,}3 \cdot 0{,}15 = 0{,}02 + 0{,}10 + 0{,}045 = 0{,}165$

Se rechaza el 16,5 % de los pedidos.

$\textbf{b) Si el vehículo revisado resulta ser NO defectuoso, calcule la probabilidad de que provenga del distribuidor A.}$

Es una probabilidad a posteriori, así que utilizamos el teorema de Bayes con el suceso contrario.

$P(\overline{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0{,}165 = 0{,}835$

$P(A \mid \overline{D}) = \dfrac{P(A)P(\overline{D} \mid A)}{P(\overline{D})} = \dfrac{0{,}2 \cdot 0{,}90}{0{,}835} = \dfrac{0{,}18}{0{,}835} = \dfrac{36}{167} \approx 0{,}2156$

Si el vehículo revisado no es defectuoso, la probabilidad de que proceda del distribuidor A es $\frac{36}{167} \approx 0{,}2156$, algo más del 21 %.