Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

A.3. [hasta 2,5 puntos]
En una biblioteca hay 60 novelas de acción y 20 de terror. Janire elige una novela al azar y se la lleva. A continuación, Eneko elegirá otra novela al azar.

a) [1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que Janire y Eneko elijan novelas de acción?
b) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la novela elegida por Eneko sea de acción?
c) [0,75 puntos] Si la novela que ha elegido Eneko es de acción, ¿cuál es la probabilidad de que la novela elegida por Janire haya sido de terror?

La biblioteca tiene $60+20=80$ novelas. Janire se lleva la suya, de modo que Eneko elige entre las $79$ que quedan: se trata de dos extracciones sin reposición.

$P(A_1)=\dfrac{60}{80}=\dfrac{3}{4}\qquad ;\qquad P(T_1)=\dfrac{20}{80}=\dfrac{1}{4}$



$\textbf{a) [1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que Janire y Eneko elijan novelas de acción?}$

Es la primera rama del árbol: la probabilidad de la intersección es el producto de la primera por la condicionada.

$P(A_1\cap A_2)=P(A_1)\cdot P(A_2\mid A_1)=\dfrac{60}{80}\cdot\dfrac{59}{79}$

$=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{59}{79}=\dfrac{177}{316}\approx 0{,}5601$

La probabilidad de que las dos novelas sean de acción es $\frac{177}{316}\approx 0{,}5601$, es decir, un $56{,}01\%$.

$\textbf{b) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la novela elegida por Eneko sea de acción?}$

No se sabe qué se llevó Janire, así que se aplica el teorema de la probabilidad total sobre las dos ramas.

$P(A_2)=P(A_1)\cdot P(A_2\mid A_1)+P(T_1)\cdot P(A_2\mid T_1)$

$P(A_2)=\dfrac{60}{80}\cdot\dfrac{59}{79}+\dfrac{20}{80}\cdot\dfrac{60}{79}=\dfrac{3540+1200}{6320}=\dfrac{4740}{6320}=\dfrac{3}{4}$

El resultado coincide con la probabilidad de la primera extracción, y no es casualidad: antes de repartir, el orden en que se elige no altera la proporción de novelas de acción.

La probabilidad de que la novela de Eneko sea de acción es $\frac{3}{4}=0{,}75$, es decir, un $75\%$.

$\textbf{c) [0,75 puntos] Si la novela que ha elegido Eneko es de acción, ¿cuál es la probabilidad de que la novela elegida por Janire haya sido de terror?}$

Se conoce el resultado de la segunda extracción y se pregunta por la primera, de modo que se aplica el teorema de Bayes.

$P(T_1\mid A_2)=\dfrac{P(T_1)\cdot P(A_2\mid T_1)}{P(A_2)}=\dfrac{\frac{20}{80}\cdot\frac{60}{79}}{\frac{3}{4}}=\dfrac{\frac{15}{79}}{\frac{3}{4}}$

$=\dfrac{15}{79}\cdot\dfrac{4}{3}=\dfrac{20}{79}\approx 0{,}2532$

Sabiendo que la novela de Eneko es de acción, la probabilidad de que la de Janire fuese de terror es $\frac{20}{79}\approx 0{,}2532$, es decir, un $25{,}32\%$.