Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

A 3 [hasta 2,5 puntos]
En una caja hay una bola roja y una bola azul. Se han extraído dos bolas de la caja como se explica a continuación: se ha extraído una bola, y antes de sacar la segunda se ha devuelto a la caja la primera bola extraída, añadiendo otra bola del mismo color.

a) [0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja si la primera que se ha sacado era azul.
b) [1 punto] Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea azul.
c) [0,75 puntos] Si la segunda bola ha sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída haya sido roja?

La caja empieza con una bola roja y una azul, de modo que la primera extracción tiene las dos opciones igual de probables.

$P(R_1)=P(A_1)=\dfrac{1}{2}$

Lo que cambia el problema es lo que ocurre entre las dos extracciones: se devuelve la bola sacada y se añade otra de su mismo color, con lo que la caja pasa a tener tres bolas, dos de ellas del color que salió primero.

$\text{Si sale roja}\ \Rightarrow\ 2\ \text{rojas y}\ 1\ \text{azul};\qquad \text{si sale azul}\ \Rightarrow\ 1\ \text{roja y}\ 2\ \text{azules}$



$\textbf{a) [0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja si la primera que se ha sacado era azul.}$

Si la primera bola fue azul, la caja queda con una roja y dos azules, tres bolas en total.

$P(R_2\mid A_1)=\dfrac{1}{3}\approx 0{,}3333$

La probabilidad de que la segunda bola sea roja habiendo sido azul la primera es $\frac{1}{3}\approx 0{,}3333$, es decir, un $33{,}33\%$.

$\textbf{b) [1 punto] Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea azul.}$

Aquí no se sabe qué salió primero, así que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas del árbol que terminan en azul.

$P(A_2)=P(R_1)\cdot P(A_2\mid R_1)+P(A_1)\cdot P(A_2\mid A_1)$

$P(A_2)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

La probabilidad de que la segunda bola extraída sea azul es $\frac{1}{2}=0{,}5$, es decir, un $50\%$. Es la misma que en la primera extracción, cosa razonable por la simetría del enunciado entre los dos colores.

$\textbf{c) [0,75 puntos] Si la segunda bola ha sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída haya sido roja?}$

Se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera, de modo que se aplica el teorema de Bayes con la probabilidad total ya calculada.

$P(R_1\mid A_2)=\dfrac{P(R_1)\cdot P(A_2\mid R_1)}{P(A_2)}=\dfrac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{3}$

Sabiendo que la segunda bola ha sido azul, la probabilidad de que la primera fuese roja es $\frac{1}{3}\approx 0{,}3333$, es decir, un $33{,}33\%$.