Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

EJERCICIO 5. Estadística y Probabilidad.
En una urna A hay 8 bolas verdes y 6 rojas y en otra urna B hay 4 verdes y 5 rojas. Se lanza un dado y si sale un número menor que 3 se saca una bola de la urna A y si sale un número mayor o igual a 3 se saca la bola de la urna B. Se extrae una bola al azar,

a) Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea roja.
b) Sabiendo que se extrajo una bola verde, ¿Cuál es la probabilidad de que haya salido de la urna A?
c) ¿Son independientes los sucesos “extraer bola roja” y “la bola procede de la urna A”?

Nombramos los sucesos:

$A \equiv$ extraer la bola de la urna A,

$B \equiv$ extraer la bola de la urna B,

$V \equiv$ extraer bola verde, $R \equiv$ extraer bola roja.

Con un dado, salir un número menor que 3 son dos casos favorables de seis y salir un número mayor o igual que 3 son cuatro:

$P(A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \qquad P(B) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$

La urna A tiene 8 bolas verdes y 6 rojas, en total 14; la urna B tiene 4 verdes y 5 rojas, en total 9.



$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea roja.}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas que acaban en bola roja.

$P(R) = P(A)\cdot P(R \mid A) + P(B)\cdot P(R \mid B) = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{6}{14} + \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{5}{9}$

$P(R) = \dfrac{1}{7} + \dfrac{10}{27} = \dfrac{27}{189} + \dfrac{70}{189} = \dfrac{97}{189} \approx 0{,}5132$

La probabilidad de que la bola extraída sea roja es $\frac{97}{189} \approx 0{,}5132$.

$\textbf{b) Sabiendo que se extrajo una bola verde, ¿Cuál es la probabilidad de que haya salido de la urna A?}$

Es una probabilidad a posteriori, así que utilizamos el teorema de Bayes. Necesitamos antes la probabilidad total de sacar bola verde.

$P(V) = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{8}{14} + \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{4}{9} = \dfrac{4}{21} + \dfrac{8}{27} = \dfrac{36}{189} + \dfrac{56}{189} = \dfrac{92}{189}$

$P(A \mid V) = \dfrac{P(A)\cdot P(V \mid A)}{P(V)} = \dfrac{\frac{36}{189}}{\frac{92}{189}} = \dfrac{36}{92} = \dfrac{9}{23} \approx 0{,}3913$

La probabilidad de que la bola verde proceda de la urna A es $\frac{9}{23} \approx 0{,}3913$.

$\textbf{c) ¿Son independientes los sucesos “extraer bola roja” y “la bola procede de la urna A”?}$

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades.

$P(R \cap A) = P(A)\cdot P(R \mid A) = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{6}{14} = \dfrac{1}{7} = \dfrac{81}{567}$

$P(R)\cdot P(A) = \dfrac{97}{189}\cdot\dfrac{1}{3} = \dfrac{97}{567}$

$\dfrac{81}{567} \neq \dfrac{97}{567}$

Los sucesos no son independientes: la proporción de bolas rojas es distinta en cada urna, así que saber de cuál procede la bola cambia la probabilidad de que sea roja.