Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

B.3 [hasta 2,5 puntos]
En una caja hay una bola roja y una bola azul. Se extraen dos bolas de la caja como se explica a continuación: se extrae una bola, y antes de sacar la segunda se devuelve a la caja la primera bola extraída, añadiendo otras dos bolas del mismo color. A continuación, se extrae una segunda bola.

a) [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja si la primera que se ha sacado ha sido azul.
b) [1,25 puntos] Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea azul.
c) [0,75 puntos] Si la segunda bola ha sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída haya sido roja?

La caja empieza con una bola roja y una azul, de modo que la primera extracción tiene las dos opciones igual de probables.

$P(R_1)=P(A_1)=\dfrac{1}{2}$

Lo que cambia el problema es lo que ocurre entre las dos extracciones: se devuelve la bola sacada y se añaden otras dos de su mismo color, con lo que la caja pasa a tener cuatro bolas, tres de ellas del color que salió primero.

$\text{Si sale roja}\ \Rightarrow\ 3\ \text{rojas y}\ 1\ \text{azul};\qquad \text{si sale azul}\ \Rightarrow\ 1\ \text{roja y}\ 3\ \text{azules}$



$\textbf{a) [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja si la primera que se ha sacado ha sido azul.}$

Si la primera bola fue azul, la caja queda con una roja y tres azules, cuatro bolas en total.

$P(R_2\mid A_1)=\dfrac{1}{4}=0{,}25$

La probabilidad de que la segunda bola sea roja habiendo sido azul la primera es $0{,}25$, es decir, un $25\%$.

$\textbf{b) [1,25 puntos] Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea azul.}$

Aquí no se sabe qué salió primero, así que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas del árbol que terminan en azul.

$P(A_2)=P(R_1)\cdot P(A_2\mid R_1)+P(A_1)\cdot P(A_2\mid A_1)$

$P(A_2)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$

La probabilidad de que la segunda bola extraída sea azul es $\frac{1}{2}=0{,}5$, es decir, un $50\%$. Es la misma que en la primera extracción, cosa razonable por la simetría del enunciado entre los dos colores.

$\textbf{c) [0,75 puntos] Si la segunda bola ha sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída haya sido roja?}$

Se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera, de modo que se aplica el teorema de Bayes con la probabilidad total ya calculada.

$P(R_1\mid A_2)=\dfrac{P(R_1)\cdot P(A_2\mid R_1)}{P(A_2)}=\dfrac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\dfrac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{4}$

Sabiendo que la segunda bola ha sido azul, la probabilidad de que la primera fuese roja es $\frac{1}{4}=0{,}25$, es decir, un $25\%$.