Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

B.3. [hasta 2,5 puntos]
Jimena tiene dos trajes rojos, un traje azul y uno blanco. Además, tiene un par de zapatos de color rojo, otro par de color azul y dos pares blancos.
Si decide aleatoriamente qué ponerse, determina las probabilidades de los siguientes sucesos:

a) [0,3 puntos] Llevar traje rojo y zapatos blancos.
b) [0,4 puntos] No ir vestida totalmente de blanco.
c) [0,4 puntos] Llevar zapatos azules.
d) [0,5 puntos] Llevar zapatos azules o blancos.
e) [0,4 puntos] Ir vestida totalmente del mismo color.
f) [0,5 puntos] Llevar zapatos rojos, sabiendo que no está vestida totalmente del mismo color.

Jimena elige el traje entre cuatro y los zapatos entre cuatro pares, y las dos elecciones son independientes: lo que se ponga arriba no condiciona lo que se ponga en los pies.

$P(T_R)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2},\qquad P(T_A)=\dfrac{1}{4},\qquad P(T_B)=\dfrac{1}{4}$

$P(Z_R)=\dfrac{1}{4},\qquad P(Z_A)=\dfrac{1}{4},\qquad P(Z_B)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$

Al ser independientes, la probabilidad de cada combinación es el producto de las dos, y la tabla de doble entrada las recoge todas.

$$	$Z_R$	$Z_A$	$Z_B$	$\text{Total}$ $T_R$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$ $T_A$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$ $T_B$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$ $\text{Total}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$

$\textbf{a) [0,3 puntos] Llevar traje rojo y zapatos blancos.}$

$P(T_R\cap Z_B)=P(T_R)\cdot P(Z_B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$

La probabilidad de llevar traje rojo y zapatos blancos es $\frac{1}{4}=0{,}25$, es decir, un $25\%$.

$\textbf{b) [0,4 puntos] No ir vestida totalmente de blanco.}$

Se pasa al suceso contrario, que es una sola casilla de la tabla.

$P(T_B\cap Z_B)=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}$

$P\left(\overline{T_B\cap Z_B}\right)=1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}$

La probabilidad de no ir vestida totalmente de blanco es $\frac{7}{8}=0{,}875$, es decir, un $87{,}5\%$.

$\textbf{c) [0,4 puntos] Llevar zapatos azules.}$

Hay un solo par azul entre los cuatro pares.

$P(Z_A)=\dfrac{1}{4}$

La probabilidad de llevar zapatos azules es $\frac{1}{4}=0{,}25$, es decir, un $25\%$.

$\textbf{d) [0,5 puntos] Llevar zapatos azules o blancos.}$

Los dos sucesos son incompatibles, porque los zapatos son de un único color, así que la probabilidad de la unión es la suma.

$P(Z_A\cup Z_B)=P(Z_A)+P(Z_B)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}$

La probabilidad de llevar zapatos azules o blancos es $\frac{3}{4}=0{,}75$, es decir, un $75\%$.

$\textbf{e) [0,4 puntos] Ir vestida totalmente del mismo color.}$

Se suman las tres casillas de la diagonal de la tabla, que son sucesos incompatibles entre sí.

$P(\text{mismo color})=P(T_R\cap Z_R)+P(T_A\cap Z_A)+P(T_B\cap Z_B)$

$=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{2+1+2}{16}=\dfrac{5}{16}$

La probabilidad de ir vestida totalmente del mismo color es $\frac{5}{16}=0{,}3125$, es decir, un $31{,}25\%$.

$\textbf{f) [0,5 puntos] Llevar zapatos rojos, sabiendo que no está vestida totalmente del mismo color.}$

Se pide una probabilidad condicionada. La intersección son los zapatos rojos que no van con traje rojo, es decir, la columna $Z_R$ sin su casilla diagonal.

$P\left(Z_R\cap\overline{\text{mismo color}}\right)=P(Z_R)-P(T_R\cap Z_R)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{8}$

$P\left(\overline{\text{mismo color}}\right)=1-\dfrac{5}{16}=\dfrac{11}{16}$

$P\left(Z_R\mid\overline{\text{mismo color}}\right)=\dfrac{\frac{1}{8}}{\frac{11}{16}}=\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{16}{11}=\dfrac{2}{11}\approx 0{,}1818$

Sabiendo que no va vestida totalmente del mismo color, la probabilidad de que lleve zapatos rojos es $\frac{2}{11}\approx 0{,}1818$, es decir, un $18{,}18\%$.