Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

A.3. [hasta 2,5 puntos]
De una baraja, Lucía y Carlos han extraído 8 cartas: los cuatro ases y los cuatro reyes. De esas 8 cartas, Lucía le ha dado dos cartas a Carlos y, posteriormente, ha cogido una carta para ella.
Calcula:

a) [0,4 puntos] La probabilidad de que Carlos tenga dos ases.
b) [0,6 puntos] La probabilidad de que Carlos tenga un as y un rey.
c) [0,7 puntos] La probabilidad de que Lucía tenga un as y Carlos no tenga dos reyes.
d) [0,8 puntos] La probabilidad de que Lucía tenga un rey.

De las ocho cartas —cuatro ases y cuatro reyes— salen primero las dos de Carlos y después la de Lucía, que se elige entre las seis restantes. Las dos cartas de Carlos se extraen a la vez, así que sus casos posibles son las combinaciones de ocho elementos tomados de dos en dos.

$\binom{8}{2}=\dfrac{8\cdot 7}{2}=28$



$\textbf{a) [0,4 puntos] La probabilidad de que Carlos tenga dos ases.}$

Los casos favorables son las parejas que se pueden formar con los cuatro ases.

$\binom{4}{2}=\dfrac{4\cdot 3}{2}=6$

$P(2\ \text{ases})=\dfrac{6}{28}=\dfrac{3}{14}\approx 0{,}2143$

La probabilidad de que Carlos tenga dos ases es $\frac{3}{14}\approx 0{,}2143$, es decir, un $21{,}43\%$.

$\textbf{b) [0,6 puntos] La probabilidad de que Carlos tenga un as y un rey.}$

Ahora se elige un as entre los cuatro y un rey entre los cuatro, y las dos elecciones se combinan.

$\binom{4}{1}\cdot\binom{4}{1}=4\cdot 4=16$

$P(1\ \text{as y }1\ \text{rey})=\dfrac{16}{28}=\dfrac{4}{7}\approx 0{,}5714$

La probabilidad de que Carlos tenga un as y un rey es $\frac{4}{7}\approx 0{,}5714$, es decir, un $57{,}14\%$.

$\textbf{c) [0,7 puntos] La probabilidad de que Lucía tenga un as y Carlos no tenga dos reyes.}$

Se llama $L_A$ al suceso «la carta de Lucía es un as» y $C_{RR}$ al suceso «Carlos tiene dos reyes». Lo pedido es la parte de $L_A$ que queda fuera de $C_{RR}$.

$P\left(L_A\cap\overline{C_{RR}}\right)=P(L_A)-P\left(L_A\cap C_{RR}\right)$

La probabilidad de que la carta de Lucía sea un as es la misma que la de cualquier carta suelta de la baraja de ocho: cuatro de las ocho son ases.

$P(L_A)=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$

Si Carlos tiene los dos reyes, entre las seis cartas restantes quedan los cuatro ases y dos reyes.

$P\left(L_A\cap C_{RR}\right)=P(C_{RR})\cdot P(L_A\mid C_{RR})=\dfrac{3}{14}\cdot\dfrac{4}{6}=\dfrac{1}{7}$

$P\left(L_A\cap\overline{C_{RR}}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{7}=\dfrac{7-2}{14}=\dfrac{5}{14}\approx 0{,}3571$

La probabilidad de que Lucía tenga un as y Carlos no tenga dos reyes es $\frac{5}{14}\approx 0{,}3571$, es decir, un $35{,}71\%$.

$\textbf{d) [0,8 puntos] La probabilidad de que Lucía tenga un rey.}$

Se aplica el teorema de la probabilidad total sobre las tres composiciones posibles de la mano de Carlos, que son las tres ramas del árbol.

$P(L_R)=\dfrac{3}{14}\cdot\dfrac{4}{6}+\dfrac{4}{7}\cdot\dfrac{3}{6}+\dfrac{3}{14}\cdot\dfrac{2}{6}$

$=\dfrac{2}{14}+\dfrac{4}{14}+\dfrac{1}{14}=\dfrac{7}{14}=\dfrac{1}{2}$

El resultado era previsible por simetría: la baraja de ocho cartas tiene tantos ases como reyes, y la posición que ocupe la carta de Lucía no altera esa proporción.

La probabilidad de que Lucía tenga un rey es $\frac{1}{2}=0{,}5$, es decir, un $50\%$.