Ejercicio resuelto de Óptica · Física · País Vasco · 2023

4. Un rayo de luz de frecuencia $f=5\times {10}^{14}Hz$ se propaga por un medio que tiene un índice de refracción $n_0=1$.

a) Calcula su longitud de onda en dicho medio.
b) ¿Cuáles serán los valores de la frecuencia y de la longitud de onda del rayo, si el nuevo medio por el que se propaga tiene un índice de refracción $n_1=1.36$?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{medio.}}$

Un índice de refracción igual a la unidad significa que el rayo se propaga con la velocidad de la luz en el vacío. La longitud de onda se obtiene de la relación entre velocidad, frecuencia y longitud de onda:

$v=\lambda f\Rightarrow {\lambda }_0={\displaystyle \frac{c}{f}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{5\cdot {10}^{14}}}$

${\lambda }_0=6\cdot {10}^{-7}\text{ m}$

En ese medio la longitud de onda es de $6\cdot {10}^{-7}\text{ m}$, es decir, $600\text{ nm}$, que corresponde a la luz naranja del espectro visible.



La frecuencia de una onda la impone el foco que la emite y no cambia al pasar de un medio a otro: es el número de oscilaciones que llegan por segundo, y ninguna se pierde ni se crea en la superficie de separación.

$f_1=f_0=5\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$

Lo que sí cambia es la velocidad de propagación, que se obtiene de la definición de índice de refracción:

$n_1={\displaystyle \frac{c}{v_1}}\Rightarrow v_1={\displaystyle \frac{c}{n_1}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,36}}}=\mathrm{2,21}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

Y con ella, la longitud de onda:

${\lambda }_1={\displaystyle \frac{v_1}{f_1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,21}\cdot {10}^8}{5\cdot {10}^{14}}}=\mathrm{4,41}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$

El mismo resultado se obtiene de forma más directa, sin pasar por la velocidad, observando que la longitud de onda en un medio es la del vacío dividida por el índice de refracción:

${\lambda }_1={\displaystyle \frac{{\lambda }_0}{n_1}}={\displaystyle \frac{6\cdot {10}^{-7}}{\mathrm{1,36}}}=\mathrm{4,41}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$

En el segundo medio la frecuencia sigue siendo $5\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$ y la longitud de onda pasa a ser $\mathrm{4,41}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$, esto es, $441\text{ nm}$. La luz se propaga más despacio y las crestas se aprietan, pero el color que percibe un observador no cambia, precisamente porque lo determina la frecuencia.