Ejercicio resuelto de Óptica · Física · País Vasco · 2024

A.3.- Un haz de luz roja penetra en una lámina de vidrio, de 30 cm de espesor, con un ángulo de incidencia de ${45}^{\circ }$.

a) Explica si cambia el color de la luz al penetrar en el vidrio, y determina el ángulo de refracción.
b) Determina el ángulo del rayo cuando sale después de atravesar la lámina.
c) ¿Qué tiempo tarda la luz en atravesar la lámina de vidrio?

Datos:
$c=3\cdot {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$
$n_{\text{aire}}=1$
$n_{\text{vidrio}}=\mathrm{1,3}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Explica}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{cambia}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{color}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{penetrar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vidrio,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{determina}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$










El color de una luz monocromática lo determina exclusivamente su frecuencia, y la frecuencia la impone el foco emisor: al cambiar de medio no varía. Lo que sí cambian son la velocidad de propagación y, con ella, la longitud de onda. La luz sigue siendo roja dentro del vidrio.

Para el ángulo de refracción se aplica la ley de Snell:

$n_{aire}\mathrm{sen}{\alpha }_1=n_{vidrio}\mathrm{sen}{\alpha }_2$

$\mathrm{sen}{\alpha }_2={\displaystyle \frac{1\cdot \mathrm{sen}{45}^{\circ }}{\mathrm{1,3}}}=\mathrm{0,544}$





${\alpha }_2=\arcsin \mathrm{0,544}={\mathrm{32,95}}^{\circ }$

El color no cambia y el ángulo de refracción es de ${\mathrm{32,95}}^{\circ }$. Al pasar a un medio más refringente el rayo se acerca a la normal, como corresponde.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{sale}}\mathbf{\text{despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{atravesar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina.}}$

Las dos caras de la lámina son paralelas, de modo que el ángulo con el que el rayo se refracta en la primera es también el ángulo con el que incide sobre la segunda. Aplicando la ley de Snell en las dos superficies:

$n_{aire}\mathrm{sen}{\alpha }_1=n_{vidrio}\mathrm{sen}{\alpha }_2;n_{vidrio}\mathrm{sen}{\alpha }_2=n_{aire}\mathrm{sen}{\alpha }_3$

$n_{aire}\mathrm{sen}{\alpha }_1=n_{aire}\mathrm{sen}{\alpha }_3\Rightarrow {\alpha }_3={\alpha }_1$

${\alpha }_3={45}^{\circ }$

El rayo emerge con un ángulo de ${45}^{\circ }$, el mismo con el que incidió. Una lámina de caras paralelas no cambia la dirección del rayo: solo lo desplaza lateralmente, tanto más cuanto mayores sean su espesor y su índice de refracción.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{tarda}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{atravesar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vidrio?}}$

Dentro del vidrio la luz se propaga en línea recta y con velocidad constante, de modo que basta dividir el camino recorrido entre la velocidad. La velocidad se obtiene de la definición de índice de refracción:

$n_{vidrio}={\displaystyle \frac{c}{v}}\Rightarrow v={\displaystyle \frac{c}{n_{vidrio}}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,3}}}=\mathrm{2,308}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

El camino no es el espesor, sino la hipotenusa del triángulo rectángulo que tiene el espesor por cateto y el ángulo de refracción por ángulo con él:

$\cos {\alpha }_2={\displaystyle \frac{L}{d}}\Rightarrow d={\displaystyle \frac{L}{\cos {\alpha }_2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,30}}{\cos {\mathrm{32,95}}^{\circ }}}=\mathrm{0,3575}\text{ m}$

$t={\displaystyle \frac{d}{v}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,3575}}{\mathrm{2,308}\cdot {10}^8}}=\mathrm{1,55}\cdot {10}^{-9}\text{ s}$

La luz tarda $\mathrm{1,55}\cdot {10}^{-9}\text{ s}$ en atravesar la lámina, es decir, algo más de un nanosegundo y medio.