Ejercicio resuelto de Constante de equilibrio Kp · Química · 2022

A1. Cuando se encierran 1,36 moles de hidrógeno molecular y 0,78 moles de monóxido de carbono en un recipiente de 1 litro, a 160 ºC, se establece el equilibrio de formación de metanol en fase gaseosa según:
$\mathrm{H_2}\,(g)+\mathrm{CO}\,(g)\rightleftharpoons \mathrm{CH_3OH}\,(g)$
Se sabe que la concentración de hidrógeno molecular en el equilibrio es $0{,}12\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$

a) Ajustar la reacción. (0,25)
b) Calcular $K_c$ para ese equilibrio a esa temperatura (1,00)
c) Calcular $K_p$ para ese equilibrio a esa temperatura. (0,50)
d) Indicar qué ocurriría al equilibrio si se disminuyera el volumen del sistema. (0,75)

$\textbf{a) Ajustar la reacción. (0,25)}$

Se cuentan los átomos de cada elemento en ambos miembros. Tal como está escrita, la ecuación no cuadra en hidrógeno: a la izquierda hay dos y a la derecha cuatro, contando los del metanol.

$\mathrm{H_2}\,(g)+\mathrm{CO}\,(g)\rightleftharpoons \mathrm{CH_3OH}\,(g)\quad\text{(sin ajustar)}$

Basta duplicar el hidrógeno para que los cuatro hidrógenos del metanol queden cubiertos; el carbono y el oxígeno ya estaban ajustados.

$2\,\mathrm{H_2}\,(g)+\mathrm{CO}\,(g)\rightleftharpoons \mathrm{CH_3OH}\,(g)$

Se comprueba: 4 hidrógenos, 1 carbono y 1 oxígeno en cada miembro.

$\textbf{b) Calcular }\boldsymbol{K_c}\textbf{ para ese equilibrio a esa temperatura (1,00)}$

Como el recipiente es de un litro, los moles coinciden numéricamente con las concentraciones. Se construye la tabla del equilibrio llamando $x$ a la concentración de hidrógeno que reacciona; por la estequiometría, el monóxido consumido y el metanol formado son la mitad.

$\text{(mol/L)}$	$2\,\mathrm{H_2}$	$\mathrm{CO}$	$\mathrm{CH_3OH}$ Iniciales	$1{,}36$	$0{,}78$	$0$ En el equilibrio	$1{,}36-x$	$0{,}78-\tfrac{x}{2}$	$\tfrac{x}{2}$

El dato del enunciado es la concentración de hidrógeno en el equilibrio:

$1{,}36-x=0{,}12\Rightarrow x=1{,}24\ \text{mol/L}$

$[\mathrm{CO}]=0{,}78-\dfrac{1{,}24}{2}=0{,}78-0{,}62=0{,}16\ \text{mol/L}$

$[\mathrm{CH_3OH}]=\dfrac{1{,}24}{2}=0{,}62\ \text{mol/L}$

$K_c=\dfrac{[\mathrm{CH_3OH}]}{[\mathrm{H_2}]^2\,[\mathrm{CO}]}=\dfrac{0{,}62}{(0{,}12)^2\cdot0{,}16}$

$K_c=\dfrac{0{,}62}{2{,}304\cdot10^{-3}}=269{,}1$

La constante de equilibrio en concentraciones vale $K_c=269{,}1$. Al ser muy superior a la unidad, el equilibrio está claramente desplazado hacia el metanol: se ha consumido el 91 % del hidrógeno inicial.

$\textbf{c) Calcular }\boldsymbol{K_p}\textbf{ para ese equilibrio a esa temperatura. (0,50)}$

Se recurre a la relación entre ambas constantes, contando la variación del número de moles de gas.

$\Delta n=1-(2+1)=-2$

$T=160+273=433\ \text{K}$

$K_p=K_c\,(R\,T)^{\Delta n}=\dfrac{K_c}{(R\,T)^{2}}=\dfrac{269{,}1}{(0{,}082\cdot433)^{2}}$

$K_p=\dfrac{269{,}1}{1{,}26\cdot10^{3}}=0{,}21$

La constante en presiones vale $K_p=0{,}21$. Llama la atención que sea menor que la unidad mientras $K_c$ es mayor que 269: no hay contradicción, porque el factor $(R\,T)^{-2}$ es muy pequeño y ambas constantes se expresan en unidades distintas. Para juzgar hacia dónde está desplazado el equilibrio hay que fijar antes con cuál de las dos se trabaja.

$\textbf{d) Indicar qué ocurriría al equilibrio si se disminuyera el volumen del sistema. (0,75)}$

Se cuentan los moles de gas de cada lado y se aplica el principio de Le Châtelier. Disminuir el volumen equivale a aumentar la presión.

$n_{\text{gas}}(\text{reactivos})=2+1=3;\qquad n_{\text{gas}}(\text{productos})=1$

$\Delta n=1-3=-2$

Al comprimir el sistema, este evoluciona hacia el lado que ocupa menos volumen, es decir, hacia el que tiene menos moles de gas. Aquí ese lado es el de los productos, y con diferencia: tres moles de gas se convierten en uno solo.

$V\downarrow\ \Rightarrow\ \text{equilibrio hacia la derecha}\ \Rightarrow\ [\mathrm{CH_3OH}]\uparrow$

Al disminuir el volumen el equilibrio se desplaza hacia el metanol, cuya fracción molar aumenta. El valor de $K_c$ no cambia, porque solo depende de la temperatura: lo que se modifica es la composición. Es precisamente el motivo de que la síntesis industrial del metanol se lleve a cabo a presiones elevadas.