Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

A.3. [hasta 2,5 puntos]
Un libro tiene 230 páginas repartidas en 3 capítulos. El primer capítulo tiene 100 páginas, y de ellas el 15 % tiene errores. El segundo consta de 80 páginas, de las cuales 8 tienen errores; y en el tercero, de 50 páginas, sólo hay 40 que no tienen ningún error.
Si abrimos el libro por una página al azar:

a) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que sea del segundo capítulo?
b) [0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que la página elegida tenga errores y sea del tercer capítulo.
c) [0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que la página elegida no tenga errores.
d) [0,5 puntos] Observamos que la página elegida tiene errores, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tercer capítulo?

Se ordenan primero los datos del enunciado, que vienen dados de tres maneras distintas: en porcentaje el primer capítulo, en número de páginas con errores el segundo y en número de páginas sin errores el tercero.

$C_1:\ 100\ \text{páginas},\ 15\%\ \text{con errores}\ \Rightarrow\ 15\ \text{con errores}$

$C_2:\ 80\ \text{páginas},\ 8\ \text{con errores}$

$C_3:\ 50\ \text{páginas},\ 40\ \text{sin errores}\ \Rightarrow\ 10\ \text{con errores}$

Se llama $E$ al suceso «la página elegida tiene errores». Como la página se abre al azar entre las $230$, la probabilidad de cada capítulo es su proporción de páginas.

$P(C_1)=\dfrac{100}{230},\qquad P(C_2)=\dfrac{80}{230},\qquad P(C_3)=\dfrac{50}{230}$

$P(E\mid C_1)=\dfrac{15}{100}=0{,}15,\qquad P(E\mid C_2)=\dfrac{8}{80}=0{,}1,\qquad P(E\mid C_3)=\dfrac{10}{50}=0{,}2$



$\textbf{a) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que sea del segundo capítulo?}$

Se aplica la regla de Laplace sobre el total de páginas del libro.

$P(C_2)=\dfrac{80}{230}=\dfrac{8}{23}\approx 0{,}3478$

La probabilidad de que la página sea del segundo capítulo es $\frac{8}{23}\approx 0{,}3478$, es decir, un $34{,}78\%$.

$\textbf{b) [0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que la página elegida tenga errores y sea del tercer capítulo.}$

Es la probabilidad de una intersección, que se obtiene recorriendo la rama correspondiente del árbol. También se puede contar directamente: hay $10$ páginas que cumplen las dos cosas.

$P(C_3\cap E)=P(C_3)\cdot P(E\mid C_3)=\dfrac{50}{230}\cdot\dfrac{10}{50}=\dfrac{10}{230}=\dfrac{1}{23}\approx 0{,}0435$

La probabilidad de que la página tenga errores y sea del tercer capítulo es $\frac{1}{23}\approx 0{,}0435$, es decir, un $4{,}35\%$.

$\textbf{c) [0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que la página elegida no tenga errores.}$

Se aplica el teorema de la probabilidad total sobre los tres capítulos.

$P(\overline{E})=\dfrac{100}{230}\cdot 0{,}85+\dfrac{80}{230}\cdot 0{,}90+\dfrac{50}{230}\cdot 0{,}80$

$=\dfrac{85+72+40}{230}=\dfrac{197}{230}\approx 0{,}8565$

La probabilidad de que la página elegida no tenga errores es $\frac{197}{230}\approx 0{,}8565$, es decir, un $85{,}65\%$.

$\textbf{d) [0,5 puntos] Observamos que la página elegida tiene errores, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tercer capítulo?}$

Se conoce el resultado y se pregunta por el capítulo, de modo que se aplica el teorema de Bayes. La probabilidad de que la página tenga errores es la complementaria de la anterior.

$P(E)=1-\dfrac{197}{230}=\dfrac{33}{230}$

$P(C_3\mid E)=\dfrac{P(C_3\cap E)}{P(E)}=\dfrac{\frac{10}{230}}{\frac{33}{230}}=\dfrac{10}{33}\approx 0{,}3030$

Sabiendo que la página tiene errores, la probabilidad de que sea del tercer capítulo es $\frac{10}{33}\approx 0{,}3030$, es decir, un $30{,}30\%$. Es bastante mayor que su peso en el libro, porque es el capítulo con mayor proporción de erratas.