Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

B.3 [hasta 2,5 puntos]
Deiene y Kattalin son jugadoras de baloncesto. Deiene encesta 2 de cada 5 tiros; Kattalin 3 de cada 7.
Si ambas tiran a canasta una sola vez, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) [0,75 puntos] Ambas han encestado.
b) [0,75 puntos] Ninguna ha encestado.
c) [0,5 puntos] Sólo Deiene ha encestado.
d) [0,5 puntos] Al menos una ha encestado.

Se llama $D$ al suceso «Deiene encesta» y $K$ al suceso «Kattalin encesta». Cada una tira por su cuenta, de modo que los dos sucesos son independientes y la probabilidad de cualquier intersección es el producto de las probabilidades.

$P(D)=\dfrac{2}{5}\ \Rightarrow\ P(\overline{D})=\dfrac{3}{5}$

$P(K)=\dfrac{3}{7}\ \Rightarrow\ P(\overline{K})=\dfrac{4}{7}$

$\textbf{a) [0,75 puntos] Ambas han encestado.}$

$P(D\cap K)=P(D)\cdot P(K)=\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{6}{35}\approx 0{,}1714$

La probabilidad de que ambas hayan encestado es $\frac{6}{35}\approx 0{,}1714$, es decir, un $17{,}14\%$.

$\textbf{b) [0,75 puntos] Ninguna ha encestado.}$

Si dos sucesos son independientes, también lo son sus contrarios.

$P\left(\overline{D}\cap\overline{K}\right)=P(\overline{D})\cdot P(\overline{K})=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{4}{7}=\dfrac{12}{35}\approx 0{,}3429$

La probabilidad de que ninguna haya encestado es $\frac{12}{35}\approx 0{,}3429$, es decir, un $34{,}29\%$.

$\textbf{c) [0,5 puntos] Sólo Deiene ha encestado.}$

Que solo enceste Deiene significa que ella acierta y Kattalin falla.

$P\left(D\cap\overline{K}\right)=P(D)\cdot P(\overline{K})=\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{4}{7}=\dfrac{8}{35}\approx 0{,}2286$

La probabilidad de que solo Deiene haya encestado es $\frac{8}{35}\approx 0{,}2286$, es decir, un $22{,}86\%$.

$\textbf{d) [0,5 puntos] Al menos una ha encestado.}$

Lo más cómodo es pasar al suceso contrario, que es justamente el del apartado (b).

$P(D\cup K)=1-P\left(\overline{D}\cap\overline{K}\right)=1-\dfrac{12}{35}=\dfrac{23}{35}\approx 0{,}6571$

La probabilidad de que al menos una haya encestado es $\frac{23}{35}\approx 0{,}6571$, es decir, un $65{,}71\%$.