Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

A.3 [hasta 2,5 puntos]
Se van a sortear 4 viajes a Nueva York entre 40 personas utilizando una baraja de 40 cartas. Se reparte una carta por persona y cada una que recibe un rey ganará un viaje.

a) [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que gane un viaje la primera persona que recibe la carta.
b) [1,25 puntos] Calcula la probabilidad de que gane un viaje la segunda persona que recibe la carta.
c) [0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que ninguna de las dos primeras personas gane un viaje.

La baraja tiene $40$ cartas y $4$ de ellas son reyes. Las cartas se reparten una a una y sin devolverlas, de modo que lo que reciba la primera persona condiciona lo que quede para la segunda.

$P(R_1)=\dfrac{4}{40}=\dfrac{1}{10}$



$\textbf{a) [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que gane un viaje la primera persona que recibe la carta.}$

Se aplica la regla de Laplace sobre las cuarenta cartas de la baraja.

$P(R_1)=\dfrac{4}{40}=\dfrac{1}{10}=0{,}1$

La probabilidad de que la primera persona gane un viaje es $0{,}1$, es decir, un $10\%$.

$\textbf{b) [1,25 puntos] Calcula la probabilidad de que gane un viaje la segunda persona que recibe la carta.}$

Ahora no se sabe qué carta recibió la primera persona, así que se aplica el teorema de la probabilidad total sobre las dos ramas del árbol.

$P(R_2)=P(R_1)\cdot P(R_2\mid R_1)+P(\overline{R_1})\cdot P(R_2\mid\overline{R_1})$

$P(R_2)=\dfrac{4}{40}\cdot\dfrac{3}{39}+\dfrac{36}{40}\cdot\dfrac{4}{39}=\dfrac{12}{1560}+\dfrac{144}{1560}=\dfrac{156}{1560}=\dfrac{1}{10}$

El resultado coincide con el del apartado anterior, y no es casualidad: antes de repartir, todas las posiciones son equivalentes, de manera que el orden en que se recibe la carta no da ninguna ventaja.

La probabilidad de que la segunda persona gane un viaje es $0{,}1$, es decir, un $10\%$.

$\textbf{c) [0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que ninguna de las dos primeras personas gane un viaje.}$

Es la rama del árbol en la que ninguna de las dos cartas es un rey. Como el reparto es sin reposición, la segunda probabilidad se calcula sobre las $39$ cartas que quedan.

$P\left(\overline{R_1}\cap\overline{R_2}\right)=\dfrac{36}{40}\cdot\dfrac{35}{39}=\dfrac{1260}{1560}=\dfrac{21}{26}\approx 0{,}8077$

La probabilidad de que ninguna de las dos primeras personas gane un viaje es $\frac{21}{26}\approx 0{,}8077$, es decir, un $80{,}77\%$.