Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

B.3. [hasta 2,5 puntos]
Lucía tiene dos dioptrías en un ojo y una dioptría en el otro, y Nerea dos dioptrías en cada ojo. Cada chica tiene una bolsa con 10 lentillas de una dioptría y otras 10 lentillas de dos dioptrías. Cada una sacará al azar dos lentillas de su bolsa.

a) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad que tiene cada chica de elegir las lentillas que necesita?
b) [1,25 puntos] En la bolsa de Lucía hay dos lentillas defectuosas. Con el fin de separarlas del resto, sacará una tras otra hasta que las encuentre. ¿Cuál es la probabilidad de que consiga encontrar las dos defectuosas en el tercer intento?

Cada bolsa tiene $10+10=20$ lentillas, y las dos extracciones son sin reposición, de modo que la segunda probabilidad se calcula sobre las $19$ restantes.

$\textbf{a) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad que tiene cada chica de elegir las lentillas que necesita?}$

Lo que necesita cada una es distinto, y eso cambia el recuento.

i) Lucía tiene dos dioptrías en un ojo y una en el otro, así que necesita una lentilla de cada clase. Puede sacarlas en cualquiera de los dos órdenes, y los dos casos son incompatibles.

$P(\text{Lucía})=P(2_d\cap 1_d)+P(1_d\cap 2_d)=\dfrac{10}{20}\cdot\dfrac{10}{19}+\dfrac{10}{20}\cdot\dfrac{10}{19}$

$=2\cdot\dfrac{10}{20}\cdot\dfrac{10}{19}=\dfrac{200}{380}=\dfrac{10}{19}\approx 0{,}526$

ii) Nerea tiene dos dioptrías en cada ojo, de modo que necesita las dos lentillas de dos dioptrías, y solo hay un orden posible.

$P(\text{Nerea})=P(2_d\cap 2_d)=\dfrac{10}{20}\cdot\dfrac{9}{19}=\dfrac{90}{380}=\dfrac{9}{38}\approx 0{,}237$

Lucía tiene una probabilidad de $\frac{10}{19}\approx 0{,}526$, es decir, un $52{,}6\%$, mientras que la de Nerea es de $\frac{9}{38}\approx 0{,}237$, un $23{,}7\%$. Lucía lo tiene más fácil porque le sirven las dos combinaciones mixtas.

$\textbf{b) [1,25 puntos] En la bolsa de Lucía hay dos lentillas defectuosas. Con el fin de separarlas del resto, sacará una tras otra hasta que las encuentre. ¿Cuál es la probabilidad de que consiga encontrar las dos defectuosas en el tercer intento?}$

Encontrar las dos defectuosas justo en el tercer intento significa que la segunda defectuosa sale en la tercera extracción y que, por tanto, entre las dos primeras salió exactamente una. Hay dos maneras de que eso ocurra, según en cuál de las dos primeras extracciones apareció la defectuosa.

$P=P\left(D\cap\overline{D}\cap D\right)+P\left(\overline{D}\cap D\cap D\right)$

$=\dfrac{2}{20}\cdot\dfrac{18}{19}\cdot\dfrac{1}{18}+\dfrac{18}{20}\cdot\dfrac{2}{19}\cdot\dfrac{1}{18}$

Los dos sumandos son iguales, porque en ambos aparecen los mismos factores en distinto orden.

$=2\cdot\dfrac{36}{6840}=\dfrac{72}{6840}=\dfrac{1}{95}\approx 0{,}0105$

La probabilidad de que Lucía encuentre las dos lentillas defectuosas en el tercer intento es $\frac{1}{95}\approx 0{,}0105$, es decir, un $1{,}05\%$.