Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2020

A.5 (2 puntos). Se tienen dos fuentes radiactivas cuya actividad a día de hoy es la misma. Se sabe que dentro de 10 años la actividad de la primera fuente será el doble que la de la segunda. Determine:

a) La diferencia, ${\lambda }_2-{\lambda }_1$, que existe entre las constantes de desintegración de ambas fuentes.
b) La relación entre las actividades de dichas fuentes dentro de 20 años.

$\mathbf{\text{A.5}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{fuentes}}\mathbf{\text{radiactivas}}\mathbf{\text{cuya}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hoy}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma.}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{dentro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{fuente}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{doble}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda.}}\mathbf{\text{Determine:}}$

Recordemos primero la ley fundamental que rige la desintegración radiactiva. El número de núcleos que quedan sin desintegrar en un instante $t$ disminuye de forma exponencial:

$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$

donde $N_0$ es el número de núcleos iniciales y $\lambda$ es la constante de desintegración (probabilidad de desintegración por unidad de tiempo), característica de cada nucleido.

La actividad $A$ es el número de desintegraciones por unidad de tiempo, es decir, el ritmo al que decrece $N$:

$A(t)=-{\displaystyle \frac{dN}{dt}}=\lambda N(t)=\lambda N_0{e}^{-\lambda t}=A_0{e}^{-\lambda t}$

con $A_0=\lambda N_0$ la actividad inicial. Esta es la herramienta que usaremos en ambos apartados.



El enunciado nos da dos condiciones. La primera es que hoy ($t=0$) las dos fuentes tienen la misma actividad:

$A_{0,1}=A_{0,2}$

La segunda es que dentro de $t=10$ años la actividad de la primera fuente será el doble que la de la segunda:

$A_1(10)=2A_2(10)$

Escribimos cada actividad con la ley anterior:

$A_{0,1}{e}^{-{\lambda }_1\cdot 10}=2A_{0,2}{e}^{-{\lambda }_2\cdot 10}$

Como las actividades iniciales son iguales ($A_{0,1}=A_{0,2}$), podemos simplificarlas a ambos lados de la igualdad:

$e^{-{\lambda }_1\cdot 10}=2e^{-{\lambda }_2\cdot 10}$

Agrupamos las exponenciales pasando la del segundo miembro al primero:

${\displaystyle \frac{e^{-{\lambda }_1\cdot 10}}{e^{-{\lambda }_2\cdot 10}}}=2⟹e^{({\lambda }_2-{\lambda }_1)\cdot 10}=2$

Tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros para despejar el exponente:

$({\lambda }_2-{\lambda }_1)\cdot 10=\ln 2$

Despejando la diferencia de constantes:

${\lambda }_2-{\lambda }_1={\displaystyle \frac{\ln 2}{10\mathrm{a}\tilde{\mathrm{n}}\mathrm{o}\mathrm{s}}}$

Sustituyendo los valores ($\ln 2=\mathrm{0,693}$):

${\lambda }_2-{\lambda }_1={\displaystyle \frac{\mathrm{0,693}}{10}}\mathrm{a}\tilde{\mathrm{n}}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}=\mathrm{6,93}\cdot {10}^{-2}\mathrm{a}\tilde{\mathrm{n}}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}$

Por tanto,

$\boxed{{\displaystyle {\lambda }_2-{\lambda }_1=\mathrm{6,93}\cdot {10}^{-2}\mathrm{a}\tilde{\mathrm{n}}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}}}$

El resultado es positivo, lo que indica que la segunda fuente tiene mayor constante de desintegración y, por tanto, decae más deprisa; de ahí que al cabo de 10 años su actividad sea menor que la de la primera.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{relaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{actividades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dichas}}\mathbf{\text{fuentes}}\mathbf{\text{dentro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}$

Buscamos el cociente de actividades en $t=20$ años. Procedemos igual que antes:

${\displaystyle \frac{A_1(20)}{A_2(20)}}={\displaystyle \frac{A_{0,1}{e}^{-{\lambda }_1\cdot 20}}{A_{0,2}{e}^{-{\lambda }_2\cdot 20}}}$

De nuevo las actividades iniciales son iguales y se cancelan, quedando solo las exponenciales:

${\displaystyle \frac{A_1(20)}{A_2(20)}}=e^{({\lambda }_2-{\lambda }_1)\cdot 20}$

Aquí aprovechamos el resultado del apartado anterior. Sabemos que $({\lambda }_2-{\lambda }_1)\cdot 10=\ln 2$, de modo que al multiplicar por 20 (es decir, por el doble del tiempo) obtenemos:

$({\lambda }_2-{\lambda }_1)\cdot 20=2({\lambda }_2-{\lambda }_1)\cdot 10=2\ln 2=\ln 2^2=\ln 4$

Sustituyendo:

${\displaystyle \frac{A_1(20)}{A_2(20)}}=e^{\ln 4}=4$

Por tanto,

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{A_1(20)}{A_2(20)}}=4}}$

Dentro de 20 años la actividad de la primera fuente será cuatro veces la de la segunda. El resultado es coherente: la condición se planteaba a los 10 años (factor 2) y, al tratarse de un proceso exponencial, al doble de tiempo el factor se eleva al cuadrado, $2^2=4$.