Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

Una discoteca tiene los siguientes costes en un mes: 13.000 euros de alquiler del edificio; 6.000 euros de mano de obra fija; 1.000 euros de otros costes fijos. Además, se sabe que el coste variable unitario es de 5 euros. Únicamente cobra por la entrada a la discoteca y el precio de dicha entrada es 10 euros. [2 puntos]

Se pide:

a) Determine el volumen de ventas de entradas en ese mes que la discoteca tiene que realizar para alcanzar el umbral de rentabilidad o punto muerto.

b) Indique cuantas entradas debe vender la discoteca en ese mes para obtener un beneficio de 15.000 euros.

c) Represente gráficamente el umbral de rentabilidad y la situación del apartado anterior.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{volumen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ventas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{entradas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{discoteca}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{realizar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{alcanzar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rentabilidad}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{muerto.}}$

El umbral de rentabilidad o punto muerto es el número de unidades que hay que vender para que el beneficio sea nulo, es decir, para que los ingresos totales igualen a los costes totales. Se obtiene dividiendo los costes fijos entre el margen que deja cada unidad, que es la diferencia entre el precio de venta y el coste variable unitario.

Los costes fijos del mes son el alquiler del edificio, la mano de obra fija y los otros costes fijos:

$CF=13.000+6.000+1.000=20.000$

Con un precio de entrada de 10 € y un coste variable unitario de 5 €:

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{CF}{p-C_{vu}}}={\displaystyle \frac{20.000}{10-5}}={\displaystyle \frac{20.000}{5}}=4.000$

La discoteca debe vender 4.000 entradas al mes para alcanzar el umbral de rentabilidad. Con esa cifra no gana ni pierde: los 20.000 € de margen que obtiene cubren exactamente los 20.000 € de costes fijos del mes.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{cuantas}}\mathbf{\text{entradas}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{discoteca}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{15.000}}\mathbf{\text{euros.}}$

Se parte de la expresión del beneficio y se despeja la cantidad:

$B=Q\cdot (p-C_{vu})-CF$

$15.000=Q\cdot (10-5)-20.000$

$5\cdot Q=35.000$

$Q={\displaystyle \frac{35.000}{5}}=7.000$

La discoteca debe vender 7.000 entradas en ese mes para obtener un beneficio de 15.000 €. Se comprueba de otro modo: superado el punto muerto de 4.000 entradas, cada entrada adicional aporta íntegramente su margen de 5 €, y para reunir 15.000 € hacen falta 3.000 entradas más.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rentabilidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{situaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior.}}$

Se representan sobre los mismos ejes la recta de ingresos totales, que parte del origen con pendiente igual al precio de la entrada, la recta de costes totales, que arranca en los 20.000 € de coste fijo con pendiente igual al coste variable unitario, y la recta horizontal de los costes fijos. El punto muerto es el corte entre ingresos y costes totales.



A la izquierda de las 4.000 entradas los costes superan a los ingresos y la discoteca incurre en pérdidas; a la derecha los ingresos superan a los costes y hay beneficios. La situación del apartado anterior, 7.000 entradas, queda en esa segunda zona, a 3.000 entradas del umbral, y la distancia vertical entre las dos rectas en ese punto es precisamente el beneficio de 15.000 € calculado.