Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

Una fábrica produce un solo tipo de producto. Para un mes determinado, la fábrica tiene los siguientes costes: 10.000 euros de alquiler de la nave; la mano de obra fija supone un coste de 5.000 euros; el resto de costes fijos es de 2.000 euros; el coste variable unitario es de 10 euros. El precio de venta de los productos es 20 euros la unidad. [2 puntos]

Se pide:

a) Determine el volumen de ventas de productos que la fábrica debe realizar en ese mes para alcanzar el umbral de rentabilidad o punto muerto.

b) Indique cuantos productos debe vender la fábrica en ese mes para obtener un beneficio de 5.000 euros.

c) Represente gráficamente el umbral de rentabilidad y la situación del apartado anterior.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{volumen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ventas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{productos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{brica}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{realizar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{alcanzar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rentabilidad}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{muerto.}}$

El umbral de rentabilidad o punto muerto es el número de unidades que hay que vender para que el beneficio sea nulo, es decir, para que los ingresos totales igualen a los costes totales. Se obtiene dividiendo los costes fijos entre el margen que deja cada unidad, que es la diferencia entre el precio de venta y el coste variable unitario.

Los costes fijos del mes son el alquiler de la nave, la mano de obra fija y el resto de costes fijos:

$CF=10.000+5.000+2.000=17.000$

Con un precio de venta de 20 € y un coste variable unitario de 10 €:

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{CF}{p-C_{vu}}}={\displaystyle \frac{17.000}{20-10}}={\displaystyle \frac{17.000}{10}}=1.700$

La fábrica debe vender 1.700 productos en ese mes para alcanzar el umbral de rentabilidad. Con esa cifra no gana ni pierde: los 17.000 € de margen cubren exactamente los 17.000 € de costes fijos del mes.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{cuantos}}\mathbf{\text{productos}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{brica}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5.000}}\mathbf{\text{euros.}}$

Se parte de la expresión del beneficio y se despeja la cantidad:

$B=Q\cdot (p-C_{vu})-CF$

$5.000=Q\cdot (20-10)-17.000$

$10\cdot Q=22.000$

$Q={\displaystyle \frac{22.000}{10}}=2.200$

La fábrica debe vender 2.200 productos en ese mes para obtener un beneficio de 5.000 €. Se comprueba de otro modo: superado el punto muerto de 1.700 unidades, cada unidad adicional aporta íntegramente su margen de 10 €, y para reunir 5.000 € hacen falta 500 unidades más.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rentabilidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{situaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior.}}$

Se representan sobre los mismos ejes la recta de ingresos totales, que parte del origen con pendiente igual al precio de venta, la recta de costes totales, que arranca en los 17.000 € de coste fijo con pendiente igual al coste variable unitario, y la recta horizontal de los costes fijos. El punto muerto es el corte entre ingresos y costes totales.



A la izquierda de las 1.700 unidades los costes superan a los ingresos y la fábrica incurre en pérdidas; a la derecha los ingresos superan a los costes y hay beneficios. La situación del apartado anterior, 2.200 unidades, queda en esa segunda zona, a 500 unidades del umbral, y la distancia vertical entre las dos rectas en ese punto es precisamente el beneficio de 5.000 € calculado.