Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

La empresa "El confidencial, S.A." comercializa un producto por el que ha obtenido un beneficio de 520.000€. En el desarrollo de su actividad comercial ha incurrido en unos costes fijos de 95.000€ y un coste variable de 15€ por unidad producida. El beneficio anterior ha sido posible con la venta de 40.000 unidades del producto. [2 puntos]

Se pide (utilizar dos decimales):

a) Calcular el precio al que se ha vendido el producto (0.5 puntos).

b) Considerando el precio resultante del apartado anterior, calcular el umbral de rentabilidad y explicar su significado (0.5 puntos por el cálculo numérico y 0.5 puntos por la explicación).

c) Representar gráficamente el umbral de rentabilidad (0.5 puntos).

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{vendido}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{(0.5}}\mathbf{\text{puntos).}}$

El beneficio es la diferencia entre los ingresos totales y los costes totales, que pueden escribirse en función de las unidades vendidas, del precio, del coste variable unitario y de los costes fijos:

$B=Q\cdot (p-C_{vu})-CF$

Se sustituyen los datos del enunciado y se despeja el precio:

$520.000=40.000\cdot (p-15)-95.000$

$40.000\cdot (p-15)=615.000$

$p-15={\displaystyle \frac{615.000}{40.000}}=\mathrm{15,375}$

$p=\mathrm{15,375}+15=\mathrm{30,375}$

El producto se ha vendido a 30,38 € la unidad, expresado con dos decimales como pide el enunciado. Cada unidad deja un margen de 15,375 €, que es la diferencia entre el precio y el coste variable unitario de 15 €.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Considerando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{resultante}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rentabilidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{explicar}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{significado}}\mathbf{\text{(0.5}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lculo}}\mathbf{\text{num}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rico}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{0.5}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{explicaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n).}}$

El umbral de rentabilidad o punto muerto es el número de unidades que hay que vender para que el beneficio sea nulo, es decir, para que los ingresos totales igualen a los costes totales. Se obtiene dividiendo los costes fijos entre el margen unitario, que se toma sin redondear para no arrastrar el error:

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{CF}{p-C_{vu}}}$

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{95.000}{\mathrm{15,375}}}=\mathrm{6.178,86}$

El umbral de rentabilidad de «El confidencial, S.A.» se sitúa en 6.178,86 unidades, es decir, en 6.179 unidades, ya que estas no pueden fraccionarse.

Su significado es el siguiente. Vendiendo esa cantidad la empresa no gana ni pierde: el margen acumulado cubre exactamente los 95.000 € de costes fijos. Por debajo de ella el margen no basta para cubrirlos y la empresa incurre en pérdidas; por encima, cada unidad adicional aporta íntegramente sus 15,38 € de margen al beneficio, porque los costes fijos ya están cubiertos. El umbral es, por tanto, una medida del riesgo del negocio: cuanto más alto sea en relación con las ventas previstas, más vulnerable resulta la empresa ante una caída de la demanda. Aquí la situación es muy cómoda, porque las 40.000 unidades vendidas superan más de seis veces el umbral: el margen de seguridad es de 33.821 unidades, un 85 % de las ventas.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Representar}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rentabilidad}}\mathbf{\text{(0.5}}\mathbf{\text{puntos).}}$

Se representan sobre los mismos ejes la recta de ingresos totales, que parte del origen con pendiente igual al precio de venta, la recta de costes totales, que arranca en los 95.000 € de coste fijo con pendiente igual al coste variable unitario, y la recta horizontal de los costes fijos. El punto muerto es el corte entre ingresos y costes totales.



A la izquierda de las 6.179 unidades los costes superan a los ingresos y la empresa incurre en pérdidas; a la derecha los ingresos superan a los costes y hay beneficios. La distancia vertical entre las dos rectas mide, en cada nivel de ventas, la pérdida o el beneficio obtenido.