Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

La empresa CORRE, S.L., dedicada a la fabricación y comercialización de patinetes eléctricos, importa desde Alemania una pieza especial para los frenos a un precio de 12 € la unidad. La empresa se plantea si seguir importando dicha pieza o producirla ella misma. Para tomar la decisión, encarga un estudio según el cual producir esta pieza le supondría unos costes fijos anuales de 150.000 € y un coste variable unitario de 4 €/unidad. [2,5 puntos]

Se pide:

a) Calcule el número de unidades a partir del cual es más rentable producir que importar dicha pieza. Justifique la respuesta con los cálculos pertinentes.

b) Represente la situación con un gráfico explicativo indicando el umbral de producción, la zona donde a la empresa le interesa comprar la pieza al proveedor externo y la zona donde a la empresa le interesa fabricarla.

c) Debido a un aumento de la demanda de patinetes eléctricos, la empresa necesita 30.000 piezas de frenos. En este caso, indique de forma razona qué debería hacer la empresa (importar o fabricar ella misma dichas piezas). Justifique su respuesta con los cálculos matemáticos necesarios.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{rentable}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{importar}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{pieza.}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lculos}}\mathbf{\text{pertinentes.}}$

Se trata de comparar el coste de las dos alternativas. Importar la pieza solo tiene coste variable, el precio unitario que cobra el proveedor alemán; producirla supone un coste fijo anual más un coste variable unitario. El umbral de producción es la cantidad que iguala los dos costes:

$\text{Coste de importar}=\text{Coste de producir}$

$p\cdot Q=CF+C{V}_u\cdot Q$

$12\cdot Q=150.000+4\cdot Q$

$8Q=150.000\to Q=18.750$

A partir de 18.750 piezas al año le resulta más rentable producirlas ella misma. Por debajo de esa cantidad los 150.000 € de costes fijos no llegan a repartirse entre suficientes unidades y sale más barato seguir importándolas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{situaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fico}}\mathbf{\text{explicativo}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{zona}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{interesa}}\mathbf{\text{comprar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pieza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{proveedor}}\mathbf{\text{externo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{zona}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{interesa}}\mathbf{\text{fabricarla.}}$

Sobre unos ejes en los que las abscisas son las piezas de freno y las ordenadas los euros se representan las dos funciones de coste: la de importar, que parte del origen con pendiente 12, y la de fabricar, que arranca de los 150.000 € de coste fijo y crece con pendiente 4. Al ser menos inclinada, la recta de fabricar acaba cortando a la de importar.



El corte se produce en 18.750 piezas. A su izquierda la recta de importar queda por debajo y a la empresa le interesa comprar la pieza al proveedor externo; a su derecha queda por debajo la de fabricar y le interesa producirla ella misma.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Debido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{aumento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{demanda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{patinetes}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctricos,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{necesita}}\mathbf{\text{30.000}}\mathbf{\text{piezas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{frenos.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{caso,}}\mathbf{\text{indique}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{razona}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{(importar}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{fabricar}}\mathbf{\text{ella}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{dichas}}\mathbf{\text{piezas).}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{respuesta}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lculos}}\mathbf{\text{matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ticos}}\mathbf{\text{necesarios.}}$

Las 30.000 piezas quedan a la derecha del umbral de 18.750, es decir, en la zona en la que la gráfica sitúa por debajo a la recta de fabricar. Los cálculos lo confirman:

$\text{Coste de importar}=12\cdot 30.000=360.000$ €

$\text{Coste de fabricar}=150.000+4\cdot 30.000=270.000$ €

$360.000-270.000=90.000$ €

La empresa debería fabricar ella misma las piezas de freno, con lo que se ahorra 90.000 € al año. Con ese volumen el menor coste variable unitario, 4 € frente a 12 €, compensa sobradamente los costes fijos de la producción propia.