Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

Un artesano con experiencia en el sector de collares de piedras naturales ha decidido dedicarse a la producción de dicho producto de elaboración artesanal que será vendido a un precio unitario de 150 €. Los costes fijos derivados de la producción y venta del producto ascienden a 750.000 €. [2,5 puntos]

Se pide:

a) Sabiendo que el artesano alcanzará el punto muerto o umbral de rentabilidad con 9.375 unidades de producción, calcule el coste variable unitario que soporta.

b) Calcule los ingresos, costes y beneficio derivados de la producción y venta de 8.000 unidades. Justifique el signo (positivo o negativo) del beneficio obtenido, relacionando la cantidad de producción con el punto muerto.

c) Calcule el precio al que debería vender el producto el artesano si quisiera alcanzar el punto muerto con 8.000 unidades de producción.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{artesano}}\mathbf{\text{alcanzar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{muerto}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rentabilidad}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{9.375}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{variable}}\mathbf{\text{unitario}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{soporta.}}$

El punto muerto es el número de unidades para el que los ingresos totales igualan a los costes totales, y se obtiene dividiendo los costes fijos entre el margen unitario, la diferencia entre el precio y el coste variable unitario:

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{CF}{p-C{V}_u}}$

Se despeja el coste variable unitario a partir del punto muerto conocido:

$9.375={\displaystyle \frac{750.000}{150-C{V}_u}}$

$150-C{V}_u={\displaystyle \frac{750.000}{9.375}}=80$

$C{V}_u=150-80=70$

El coste variable unitario que soporta el artesano es de 70 € por collar.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ingresos,}}\mathbf{\text{costes}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{derivados}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{8.000}}\mathbf{\text{unidades.}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{signo}}\mathbf{\text{(positivo}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{negativo)}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{obtenido,}}\mathbf{\text{relacionando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{muerto.}}$

Los ingresos totales son el precio por la cantidad vendida y los costes totales la suma de los fijos y de los variables:

$IT=150\cdot 8.000=\mathrm{1.200.000}$ €

$CT=750.000+70\cdot 8.000=750.000+560.000=\mathrm{1.310.000}$ €

$B=IT-CT=\mathrm{1.200.000}-\mathrm{1.310.000}=-110.000$ €

El resultado es una pérdida de 110.000 €. El signo negativo era previsible sin hacer las cuentas: 8.000 unidades quedan por debajo de las 9.375 del punto muerto, es decir, en la zona de pérdidas. El margen que dejan las 8.000 unidades vendidas, 80 € cada una, suma 640.000 € y no llega a cubrir los 750.000 € de costes fijos; la diferencia, precisamente 110.000 €, es la pérdida.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{artesano}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{quisiera}}\mathbf{\text{alcanzar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{muerto}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{8.000}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Se impone que el punto muerto sea 8.000 unidades y se despeja el precio:

$8.000={\displaystyle \frac{750.000}{p-70}}$

$p-70={\displaystyle \frac{750.000}{8.000}}=\mathrm{93,75}$

$p=\mathrm{93,75}+70=\mathrm{163,75}$

El artesano debería vender cada collar a 163,75 €, es decir, subir el precio en 13,75 € sobre los 150 € actuales, para cubrir todos sus costes con una producción de 8.000 unidades.