Ejercicio resuelto de Cinemática · Física y Química 4 ESO

Lanzamos verticalmente hacia arriba un proyectil con una velocidad de $900\text{ km/h}$. Calcular a) Tiempo que tarda en alcanzar $1\text{ km}$. de altura. b) Tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima c) Altura alcanzada.

$\mathbf{\text{a)}}$ Las unidades están mezcladas (km/h y km): pasamos todo al S.I. con factores de conversión:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 900{\displaystyle \frac{\cancel{\text{km}}}{\cancel{\text{h}}}}\cdot {\displaystyle \frac{1000\text{ m}}{1\cancel{\text{km}}}}\cdot {\displaystyle \frac{1\cancel{\text{h}}}{3600\text{ s}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{900\cdot 1000}{3600}}{\displaystyle \frac{\text{m}}{\text{s}}}=250{\displaystyle \frac{\text{m}}{\text{s}}}}\end{array}$
$1\cancel{\text{km}}\cdot {\displaystyle \frac{1000\text{ m}}{1\cancel{\text{km}}}}=1000\text{ m}$
Tomamos positivo hacia arriba y el origen en el punto de lanzamiento. La gravedad tira hacia abajo, así que en las ecuaciones entra con signo menos, con $g=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$. La posición con el tiempo es:
$\boxed{{\displaystyle y=y_0+v_0\cdot t-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot g\cdot t^2}}$
$1000=250\cdot t-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{9,8}\cdot t^2$
$\mathrm{4,9}\cdot t^2-250\cdot t+1000=0$
Es una ecuación de segundo grado, $A\cdot t^2+B\cdot t+C=0$, con $A=\mathrm{4,9}$, $B=-250$ y $C=1000$:
$\boxed{{\displaystyle t={\displaystyle \frac{-B\pm \sqrt{B^2-4\cdot A\cdot C}}{2\cdot A}}}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle t}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{250\pm \sqrt{{250}^2-4\cdot \mathrm{4,9}\cdot 1000}}{2\cdot \mathrm{4,9}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{250\pm \sqrt{42900}}{\mathrm{9,8}}}}\end{array}$
Salen dos tiempos, y los dos valen: pasa por 1 km de altura al subir y otra vez al bajar.
$t_1={\displaystyle \frac{250-\sqrt{42900}}{\mathrm{9,8}}}\approx \mathrm{4,38}\text{ s}$
$t_2={\displaystyle \frac{250+\sqrt{42900}}{\mathrm{9,8}}}\approx \mathrm{46,65}\text{ s}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Sube hasta que su velocidad se hace cero:
$\boxed{{\displaystyle v=v_0-g\cdot t}}$
$0=250-\mathrm{9,8}\cdot t_m$
$t_m={\displaystyle \frac{250}{\mathrm{9,8}}}\approx \mathrm{25,51}\text{ s}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Con la velocidad cero arriba y sin usar el tiempo redondeado, la relación entre velocidad y altura:
$\boxed{{\displaystyle v^2=v_0^2-2\cdot g\cdot (y-y_0)}}$
$0={250}^2-2\cdot \mathrm{9,8}\cdot h$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle h}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{250}^2}{\mathrm{19,6}}}={\displaystyle \frac{62500}{\mathrm{19,6}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \approx \mathrm{3188,78}\text{ m}}\end{array}$