Ejercicio resuelto de Cinemática · Física y Química 4 ESO

Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de intervalo; el 1.º con una velocidad inicial de $50\text{ m/s}$ y el 2.º con una velocidad inicial de $80\text{ m/s}$. Calcular a) Tiempo que pasa hasta que los dos se encuentren a la misma altura. b) A qué altura sucederá el encuentro. c) Velocidad de cada proyectil en ese momento.

$\mathbf{\text{a)}}$ Tomamos positivo hacia arriba y el origen en el punto de lanzamiento. La gravedad tira hacia abajo, así que en las ecuaciones entra con signo menos, con $g=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$. Contamos el tiempo desde que sale el primero; el segundo sale 2 s después, así que lleva 2 s menos en el aire:
$\boxed{{\displaystyle y=y_0+v_0\cdot t-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot g\cdot t^2}}$
$y_1=50\cdot t-\mathrm{4,9}\cdot t^2$
$y_2=80\cdot (t-2)-\mathrm{4,9}\cdot (t-2{)}^2$
Están a la misma altura cuando $y_1=y_2$:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 50\cdot t-\mathrm{4,9}\cdot t^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =80\cdot (t-2)-\mathrm{4,9}\cdot (t-2{)}^2}\end{array}$
Desarrollamos el lado derecho, término a término:
$80\cdot (t-2)=80\cdot t-160$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \mathrm{4,9}\cdot (t-2{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{4,9}\cdot t^2-\mathrm{19,6}\cdot t+\mathrm{19,6}}\end{array}$
Al restarlos se juntan los términos en t (80 + 19,6 = 99,6) y los números sueltos (−160 − 19,6 = −179,6):
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 80\cdot (t-2)-\mathrm{4,9}\cdot (t-2{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{99,6}\cdot t-\mathrm{179,6}-\mathrm{4,9}\cdot t^2}\end{array}$
El término $-\mathrm{4,9}\cdot t^2$ está a los dos lados y se va:
$50\cdot t=\mathrm{99,6}\cdot t-\mathrm{179,6}$
$\mathrm{179,6}=\mathrm{49,6}\cdot t$
$t={\displaystyle \frac{\mathrm{179,6}}{\mathrm{49,6}}}\approx \mathrm{3,621}\text{ s}$
Hay que comprobar que en ese momento los dos están en el aire. El primero tarda en volver al suelo:
$t_v={\displaystyle \frac{2\cdot 50}{\mathrm{9,8}}}\approx \mathrm{10,2}\text{ s}$
Y el segundo salió a los 2 s. A los $\mathrm{3,621}\text{ s}$ los dos están en el aire: se encuentran de verdad, y una sola vez, porque la ecuación ha quedado de primer grado. Pasan $t\approx \mathrm{3,62}\text{ s}$ desde que sale el primero ($\mathrm{1,62}\text{ s}$ desde que sale el segundo).



$\mathbf{\text{b)}}$ Sustituimos el tiempo en la altura del primero:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle y_1}& {\displaystyle =50\cdot \mathrm{3,621}-\mathrm{4,9}\cdot {\mathrm{3,621}}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \approx \mathrm{116,8}\text{ m}}\end{array}$
Lo comprobamos con el segundo, que lleva $\mathrm{1,621}\text{ s}$ en el aire:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle y_2}& {\displaystyle =80\cdot \mathrm{1,621}-\mathrm{4,9}\cdot {\mathrm{1,621}}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \approx \mathrm{116,8}\text{ m}}\end{array}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Las velocidades en ese instante:
$\boxed{{\displaystyle v=v_0-g\cdot t}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle v_1}& {\displaystyle =50-\mathrm{9,8}\cdot \mathrm{3,621}=\mathrm{14,5142}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \approx \mathrm{14,51}\text{ m/s}}\end{array}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle v_2}& {\displaystyle =80-\mathrm{9,8}\cdot \mathrm{1,621}=\mathrm{64,1142}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \approx \mathrm{64,11}\text{ m/s}}\end{array}$
Las dos son positivas: los dos suben. El segundo, mucho más rápido, alcanza al primero y lo adelanta.