Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Calcule $g\circ f$ y su dominio, y $f\circ g$ y su dominio, siendo $f(x)=\sqrt{x+5}$ y $g(x)=\sqrt{x-3}$.

a) $(g\circ f)(x)$
b) El dominio de $g\circ f$
c) $(f\circ g)(x)$
d) El dominio de $f\circ g$

$\mathbf{\text{a)}}$ Componer g con f significa meter f dentro de g: donde g tiene una x se escribe f(x) entera.
$\boxed{{\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle (g\circ f)(x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =g\left(\sqrt{x+5}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{\sqrt{x+5}-3}}\end{array}$


$\mathbf{\text{b)}}$ El dominio de una composición no es el dominio de la expresión que sale al final. Se calcula por pasos: el dominio de cada función, la condición de que lo que sale de una caiga dentro del dominio de la siguiente, y al final se cortan todas.

Paso 1. La primera en actuar es f, que es una raíz cuadrada, y el radicando de una raíz de índice par no puede ser negativo:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El radicando de una ra}\acute{\text{ı}}\text{z}}\\ {\displaystyle \text{de }\acute{\text{ı}}\text{ndice par no puede}}\\ {\displaystyle \text{ser negativo}}\end{array}}}$
$x+5\ge 0$
$x\ge -5$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)=[-5,\mathrm{\infty })$

Paso 2. La segunda es g, que es una raíz cuadrada, y el radicando de una raíz de índice par no puede ser negativo, otra vez:
$x-3\ge 0$
$x\ge 3$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g)=[3,\mathrm{\infty })$

Paso 3. La condición: lo que sale de $f(x)$ tiene que estar en el dominio de g.
El radicando de g no puede ser negativo, y ese radicando es ahora f(x)-3:
$\sqrt{x+5}-3\ge 0$
$\sqrt{x+5}\ge 3$
$x+5\ge 9$
$x\ge 4$
Los dos lados son positivos, así que se pueden elevar al cuadrado sin que cambie la desigualdad.

Paso 4. Se cortan todas las condiciones, que es lo que dice la definición del dominio de una composición:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g\circ f)=}\\ {\displaystyle \{x\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)\mathrm{/}f(x)\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g)\}}\end{array}}}$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g\circ f)=[4,\mathrm{\infty })$


$\mathbf{\text{c)}}$ Ahora al revés: se mete g dentro de f, o sea, donde f tiene una x se escribe g(x) entera.
$\boxed{{\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle (f\circ g)(x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =f\left(\sqrt{x-3}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{\sqrt{x-3}+5}}\end{array}$
Las dos composiciones han salido distintas: $\sqrt{\sqrt{x+5}-3}$ frente a $\sqrt{\sqrt{x-3}+5}$. Componer NO es conmutativo, y el orden en que se aplican las funciones cambia el resultado.


$\mathbf{\text{d)}}$ El dominio de una composición no es el dominio de la expresión que sale al final. Se calcula por pasos: el dominio de cada función, la condición de que lo que sale de una caiga dentro del dominio de la siguiente, y al final se cortan todas.

Paso 1. La primera en actuar es g, que es una raíz cuadrada, y el radicando de una raíz de índice par no puede ser negativo:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El radicando de una ra}\acute{\text{ı}}\text{z}}\\ {\displaystyle \text{de }\acute{\text{ı}}\text{ndice par no puede}}\\ {\displaystyle \text{ser negativo}}\end{array}}}$
$x-3\ge 0$
$x\ge 3$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g)=[3,\mathrm{\infty })$

Paso 2. La segunda es f, que es una raíz cuadrada, y el radicando de una raíz de índice par no puede ser negativo, otra vez:
$x+5\ge 0$
$x\ge -5$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)=[-5,\mathrm{\infty })$

Paso 3. La condición: lo que sale de $g(x)$ tiene que estar en el dominio de f.
El radicando de f no puede ser negativo, y ese radicando es ahora g(x)+5:
$\sqrt{x-3}+5\ge 0$
Una raíz cuadrada nunca sale negativa, así que al sumarle 5 el resultado es siempre positivo: esta condición no quita ningún valor.

Paso 4. Se cortan todas las condiciones, que es lo que dice la definición del dominio de una composición:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f\circ g)=}\\ {\displaystyle \{x\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g)\mathrm{/}g(x)\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)\}}\end{array}}}$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f\circ g)=[3,\mathrm{\infty })$