Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Calcule $g\circ f$ y su dominio, y $f\circ g$ y su dominio, siendo $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ y $g(x)=\sqrt{x-1}$.

a) $(g\circ f)(x)$
b) El dominio de $g\circ f$
c) $(f\circ g)(x)$
d) El dominio de $f\circ g$

$\mathbf{\text{a)}}$ Componer g con f significa meter f dentro de g: donde g tiene una x se escribe f(x) entera.
$\boxed{{\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle (g\circ f)(x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =g\left(\sqrt{4-x^2}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{\sqrt{4-x^2}-1}}\end{array}$


$\mathbf{\text{b)}}$ El dominio de una composición no es el dominio de la expresión que sale al final. Se calcula por pasos: el dominio de cada función, la condición de que lo que sale de una caiga dentro del dominio de la siguiente, y al final se cortan todas.

Paso 1. La primera en actuar es f, que es una raíz cuadrada, y el radicando de una raíz de índice par no puede ser negativo:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El radicando de una ra}\acute{\text{ı}}\text{z}}\\ {\displaystyle \text{de }\acute{\text{ı}}\text{ndice par no puede}}\\ {\displaystyle \text{ser negativo}}\end{array}}}$
$4-x^2\ge 0$
$x^2\le 4$
$-2\le x\le 2$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)=[-2,2]$

Paso 2. La segunda es g, que es una raíz cuadrada, y el radicando de una raíz de índice par no puede ser negativo, otra vez:
$x-1\ge 0$
$x\ge 1$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g)=[1,\mathrm{\infty })$

Paso 3. La condición: lo que sale de $f(x)$ tiene que estar en el dominio de g.
El radicando de g no puede ser negativo, y ese radicando es ahora f(x)-1:
$\sqrt{4-x^2}-1\ge 0$
$\sqrt{4-x^2}\ge 1$
$4-x^2\ge 1$
$x^2\le 3$
$-\sqrt{3}\le x\le \sqrt{3}$

Paso 4. Se cortan todas las condiciones, que es lo que dice la definición del dominio de una composición:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g\circ f)=}\\ {\displaystyle \{x\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)\mathrm{/}f(x)\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g)\}}\end{array}}}$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g\circ f)=[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$


$\mathbf{\text{c)}}$ Ahora al revés: se mete g dentro de f, o sea, donde f tiene una x se escribe g(x) entera.
$\boxed{{\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle (f\circ g)(x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =f\left(\sqrt{x-1}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{4-{\left(\sqrt{x-1}\right)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{4-(x-1)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{5-x}}\end{array}$
Por el camino: la raíz y el cuadrado se cancelan.
Las dos composiciones han salido distintas: $\sqrt{\sqrt{4-x^2}-1}$ frente a $\sqrt{5-x}$. Componer NO es conmutativo, y el orden en que se aplican las funciones cambia el resultado.


$\mathbf{\text{d)}}$ El dominio de una composición no es el dominio de la expresión que sale al final. Se calcula por pasos: el dominio de cada función, la condición de que lo que sale de una caiga dentro del dominio de la siguiente, y al final se cortan todas.

Paso 1. La primera en actuar es g, que es una raíz cuadrada, y el radicando de una raíz de índice par no puede ser negativo:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El radicando de una ra}\acute{\text{ı}}\text{z}}\\ {\displaystyle \text{de }\acute{\text{ı}}\text{ndice par no puede}}\\ {\displaystyle \text{ser negativo}}\end{array}}}$
$x-1\ge 0$
$x\ge 1$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g)=[1,\mathrm{\infty })$

Paso 2. La segunda es f, que es una raíz cuadrada, y el radicando de una raíz de índice par no puede ser negativo, otra vez:
$4-x^2\ge 0$
$x^2\le 4$
$-2\le x\le 2$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)=[-2,2]$

Paso 3. La condición: lo que sale de $g(x)$ tiene que estar en el dominio de f.
El radicando de f no puede ser negativo, y ese radicando es ahora 4 menos el cuadrado de g(x):
$4-{\left(\sqrt{x-1}\right)}^2\ge 0$
$4-(x-1)\ge 0$
$5-x\ge 0$
$x\le 5$

Paso 4. Se cortan todas las condiciones, que es lo que dice la definición del dominio de una composición:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f\circ g)=}\\ {\displaystyle \{x\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g)\mathrm{/}g(x)\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)\}}\end{array}}}$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f\circ g)=[1,5]$
Y aquí está la trampa: en $(-\mathrm{\infty },1)$ la expresión que ha salido se puede calcular sin ningún problema, pero ese valor no está en el dominio de $f\circ g$, porque ahí la composición no se puede hacer. El dominio se mira ANTES de simplificar.