Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Calcule $g\circ f$ y su dominio, y $f\circ g$ y su dominio, siendo $f(x)=x^3-8$ y $g(x)=\sqrt[3]{x+8}$.

a) $(g\circ f)(x)$
b) El dominio de $g\circ f$
c) $(f\circ g)(x)$
d) El dominio de $f\circ g$

$\mathbf{\text{a)}}$ Componer g con f significa meter f dentro de g: donde g tiene una x se escribe f(x) entera.
$\boxed{{\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle (g\circ f)(x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =g(x^3-8)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt[3]{(x^3-8)+8}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt[3]{x^3}=x}\end{array}$
Por el camino: la raíz cúbica deshace el cubo.


$\mathbf{\text{b)}}$ El dominio de una composición no es el dominio de la expresión que sale al final. Se calcula por pasos: el dominio de cada función, la condición de que lo que sale de una caiga dentro del dominio de la siguiente, y al final se cortan todas.

Paso 1. La primera en actuar es f, que es un polinomio, y un polinomio se puede calcular con cualquier número.
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)=\mathbb{R}$

Paso 2. La segunda es g, que es una raíz cúbica, y una raíz de índice impar sí existe cuando el radicando es negativo.
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g)=\mathbb{R}$

Paso 3. La condición: lo que sale de $f(x)$ tiene que estar en el dominio de g.
El dominio de g es toda la recta, así que la condición no prohíbe ningún valor: cualquier número que salga de f está en él.

Paso 4. Se cortan todas las condiciones, que es lo que dice la definición del dominio de una composición:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g\circ f)=}\\ {\displaystyle \{x\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)\mathrm{/}f(x)\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g)\}}\end{array}}}$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g\circ f)=\mathbb{R}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Ahora al revés: se mete g dentro de f, o sea, donde f tiene una x se escribe g(x) entera.
$\boxed{{\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle (f\circ g)(x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =f\left(\sqrt[3]{x+8}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left(\sqrt[3]{x+8}\right)}^3-8}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x+8)-8=x}\end{array}$
Por el camino: el cubo deshace la raíz cúbica.
Aquí sí coinciden, y además las dos dan x: f y g se deshacen la una a la otra, es decir, son funciones inversas.


$\mathbf{\text{d)}}$ El dominio de una composición no es el dominio de la expresión que sale al final. Se calcula por pasos: el dominio de cada función, la condición de que lo que sale de una caiga dentro del dominio de la siguiente, y al final se cortan todas.

Paso 1. La primera en actuar es g, que es una raíz cúbica, y una raíz de índice impar sí existe cuando el radicando es negativo.
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g)=\mathbb{R}$

Paso 2. La segunda es f, que es un polinomio, y un polinomio se puede calcular con cualquier número.
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)=\mathbb{R}$

Paso 3. La condición: lo que sale de $g(x)$ tiene que estar en el dominio de f.
El dominio de f es toda la recta, así que la condición no prohíbe ningún valor: cualquier número que salga de g está en él.

Paso 4. Se cortan todas las condiciones, que es lo que dice la definición del dominio de una composición:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f\circ g)=}\\ {\displaystyle \{x\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g)\mathrm{/}g(x)\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)\}}\end{array}}}$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f\circ g)=\mathbb{R}$