Ejercicio resuelto de Función inversa · Matemáticas 4 ESO

Encuentre la función inversa de las siguientes funciones. Asuma que las funciones están bien definidas en el conjunto de los números reales.

a) $f(x)=7x$
b) $f(x)=3x$
c) $g(x)=-10x$
d) $f(x)={\displaystyle \frac{x}{3}}$
e) $f(x)={\displaystyle \frac{3x}{8}}$
f) $f(x)={\displaystyle \frac{-x}{13}}$
g) $g(x)=4x-6$
h) $h(x)=3x+10$
i) $f(x)=9x-11$
j) $f(x)=5+6x$

$\mathbf{\text{a)}}$ Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y=7x$
La $x$ está multiplicada por $7$. Para dejarla sola, pasamos ese número al otro lado dividiendo:
$x={\displaystyle \frac{y}{7}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$y={\displaystyle \frac{x}{7}}$
Y esa es la función inversa:
$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{x}{7}}$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
$f(f^{-1}(x))=7\cdot {\displaystyle \frac{x}{7}}=x$


$\mathbf{\text{b)}}$ Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y=3x$
La $x$ está multiplicada por $3$. Para dejarla sola, pasamos ese número al otro lado dividiendo:
$x={\displaystyle \frac{y}{3}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$y={\displaystyle \frac{x}{3}}$
Y esa es la función inversa:
$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{x}{3}}$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
$f(f^{-1}(x))=3\cdot {\displaystyle \frac{x}{3}}=x$


$\mathbf{\text{c)}}$ Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y=-10x$
La $x$ está multiplicada por $-10$. Para dejarla sola, pasamos ese número al otro lado dividiendo:
$x={\displaystyle \frac{y}{-10}}=-{\displaystyle \frac{y}{10}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=g(x)⟺x=g^{-1}(y)}}$
$y=-{\displaystyle \frac{x}{10}}$
Y esa es la función inversa:
$g^{-1}(x)=-{\displaystyle \frac{x}{10}}$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
$g(g^{-1}(x))=-10\cdot (-{\displaystyle \frac{x}{10}})=x$


$\mathbf{\text{d)}}$ Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y={\displaystyle \frac{x}{3}}$
Para quitar el denominador multiplicamos en cruz:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{A}{B}}=C⟺A=B\cdot C}}$
$x=3y$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$y=3x$
Y esa es la función inversa:
$f^{-1}(x)=3x$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
$f(f^{-1}(x))={\displaystyle \frac{3x}{3}}=x$


$\mathbf{\text{e)}}$ Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y={\displaystyle \frac{3x}{8}}$
Para quitar el denominador multiplicamos en cruz:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{A}{B}}=C⟺A=B\cdot C}}$
$3x=8y$
Y pasamos el $3$ al otro lado dividiendo:
$x={\displaystyle \frac{8y}{3}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$y={\displaystyle \frac{8x}{3}}$
Y esa es la función inversa:
$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{8x}{3}}$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
El numerador de la fracción vale
$3\cdot {\displaystyle \frac{8x}{3}}=8x$
y solo queda dividirlo entre $8$:
$f(f^{-1}(x))={\displaystyle \frac{8x}{8}}=x$


$\mathbf{\text{f)}}$ Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y={\displaystyle \frac{-x}{13}}$
Para quitar el denominador multiplicamos en cruz:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{A}{B}}=C⟺A=B\cdot C}}$
$-x=13y$
La $x$ lleva un signo menos delante: cambiamos de signo los dos lados:
$x=-13y$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$y=-13x$
Y esa es la función inversa:
$f^{-1}(x)=-13x$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f(f^{-1}(x))={\displaystyle \frac{-(-13x)}{13}}={\displaystyle \frac{13x}{13}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x}\end{array}$


$\mathbf{\text{g)}}$ Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y=4x-6$
El término independiente es $-6$. Lo pasamos al otro lado sumándolo en los dos miembros:
$y+6=4x$
Ahora la $x$ está multiplicada por $4$: pasamos ese número al otro lado dividiendo:
$x={\displaystyle \frac{y+6}{4}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=g(x)⟺x=g^{-1}(y)}}$
$y={\displaystyle \frac{x+6}{4}}$
Y esa es la función inversa:
$g^{-1}(x)={\displaystyle \frac{x+6}{4}}$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle g(g^{-1}(x))=4\cdot {\displaystyle \frac{x+6}{4}}-6}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x+6-6=x}\end{array}$


$\mathbf{\text{h)}}$ Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y=3x+10$
El término independiente es $10$. Lo pasamos al otro lado restándolo en los dos miembros:
$y-10=3x$
Ahora la $x$ está multiplicada por $3$: pasamos ese número al otro lado dividiendo:
$x={\displaystyle \frac{y-10}{3}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=h(x)⟺x=h^{-1}(y)}}$
$y={\displaystyle \frac{x-10}{3}}$
Y esa es la función inversa:
$h^{-1}(x)={\displaystyle \frac{x-10}{3}}$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle h(h^{-1}(x))=3\cdot {\displaystyle \frac{x-10}{3}}+10}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x-10+10=x}\end{array}$


$\mathbf{\text{i)}}$ Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y=9x-11$
El término independiente es $-11$. Lo pasamos al otro lado sumándolo en los dos miembros:
$y+11=9x$
Ahora la $x$ está multiplicada por $9$: pasamos ese número al otro lado dividiendo:
$x={\displaystyle \frac{y+11}{9}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$y={\displaystyle \frac{x+11}{9}}$
Y esa es la función inversa:
$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{x+11}{9}}$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f(f^{-1}(x))=9\cdot {\displaystyle \frac{x+11}{9}}-11}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x+11-11=x}\end{array}$


$\mathbf{\text{j)}}$ Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y=5+6x$
El término independiente es $5$. Lo pasamos al otro lado restándolo en los dos miembros:
$y-5=6x$
Ahora la $x$ está multiplicada por $6$: pasamos ese número al otro lado dividiendo:
$x={\displaystyle \frac{y-5}{6}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$y={\displaystyle \frac{x-5}{6}}$
Y esa es la función inversa:
$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{x-5}{6}}$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle f(f^{-1}(x))=6\cdot {\displaystyle \frac{x-5}{6}}+5}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x-5+5=x}\end{array}$