Ejercicio resuelto de Función inversa · Matemáticas 4 ESO

Encuentre la función inversa de las siguientes funciones. Asuma que las funciones están bien definidas en el conjunto de los números reales.

a) $g(x)={\displaystyle \frac{x-8}{3}}$
b) $f(x)={\displaystyle \frac{2x+1}{5}}$
c) $f(x)={\displaystyle \frac{x-8}{-2}}$
d) $g(x)={\displaystyle \frac{x+12}{9}}$
e) $f(x)={\displaystyle \frac{x+10}{4}}$
f) $g(x)={\displaystyle \frac{7-2x}{7}}$
g) $g(x)={\displaystyle \frac{-7x+6}{10}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y={\displaystyle \frac{x-8}{3}}$
Para quitar el denominador multiplicamos en cruz:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{A}{B}}=C⟺A=B\cdot C}}$
$x-8=3y$
Pasamos el $-8$ al otro lado:
$x=3y+8$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=g(x)⟺x=g^{-1}(y)}}$
$y=3x+8$
Y esa es la función inversa:
$g^{-1}(x)=3x+8$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
El numerador de la fracción vale
$3x+8-8=3x$
y al dividirlo entre $3$ queda
$g(g^{-1}(x))={\displaystyle \frac{3x}{3}}=x$


$\mathbf{\text{b)}}$ Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y={\displaystyle \frac{2x+1}{5}}$
Para quitar el denominador multiplicamos en cruz:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{A}{B}}=C⟺A=B\cdot C}}$
$2x+1=5y$
Pasamos el $1$ al otro lado:
$2x=5y-1$
Y dividimos entre $2$:
$x={\displaystyle \frac{5y-1}{2}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$y={\displaystyle \frac{5x-1}{2}}$
Y esa es la función inversa:
$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{5x-1}{2}}$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
El numerador de la fracción vale
$2\cdot {\displaystyle \frac{5x-1}{2}}+1=5x-1+1=5x$
y al dividirlo entre $5$ queda
$f(f^{-1}(x))={\displaystyle \frac{5x}{5}}=x$


$\mathbf{\text{c)}}$ Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y={\displaystyle \frac{x-8}{-2}}$
Para quitar el denominador multiplicamos en cruz:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{A}{B}}=C⟺A=B\cdot C}}$
$x-8=-2y$
Pasamos el $-8$ al otro lado:
$x=8-2y$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$y=8-2x$
Y esa es la función inversa:
$f^{-1}(x)=8-2x$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
El numerador de la fracción vale
$8-2x-8=-2x$
y al dividirlo entre $-2$ queda
$f(f^{-1}(x))={\displaystyle \frac{-2x}{-2}}=x$


$\mathbf{\text{d)}}$ Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y={\displaystyle \frac{x+12}{9}}$
Para quitar el denominador multiplicamos en cruz:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{A}{B}}=C⟺A=B\cdot C}}$
$x+12=9y$
Pasamos el $12$ al otro lado:
$x=9y-12$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=g(x)⟺x=g^{-1}(y)}}$
$y=9x-12$
Y esa es la función inversa:
$g^{-1}(x)=9x-12$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
El numerador de la fracción vale
$9x-12+12=9x$
y al dividirlo entre $9$ queda
$g(g^{-1}(x))={\displaystyle \frac{9x}{9}}=x$


$\mathbf{\text{e)}}$ Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y={\displaystyle \frac{x+10}{4}}$
Para quitar el denominador multiplicamos en cruz:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{A}{B}}=C⟺A=B\cdot C}}$
$x+10=4y$
Pasamos el $10$ al otro lado:
$x=4y-10$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=f(x)⟺x=f^{-1}(y)}}$
$y=4x-10$
Y esa es la función inversa:
$f^{-1}(x)=4x-10$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
El numerador de la fracción vale
$4x-10+10=4x$
y al dividirlo entre $4$ queda
$f(f^{-1}(x))={\displaystyle \frac{4x}{4}}=x$


$\mathbf{\text{f)}}$ Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y={\displaystyle \frac{7-2x}{7}}$
Para quitar el denominador multiplicamos en cruz:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{A}{B}}=C⟺A=B\cdot C}}$
$7-2x=7y$
Pasamos el $7$ al otro lado:
$-2x=7y-7$
Y dividimos entre $-2$, ordenando el numerador:
$x={\displaystyle \frac{7y-7}{-2}}={\displaystyle \frac{7-7y}{2}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=g(x)⟺x=g^{-1}(y)}}$
$y={\displaystyle \frac{7-7x}{2}}$
Y esa es la función inversa:
$g^{-1}(x)={\displaystyle \frac{7-7x}{2}}$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
El numerador de la fracción vale
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle -2\cdot {\displaystyle \frac{7-7x}{2}}+7=-(7-7x)+7}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =7x}\end{array}$
y al dividirlo entre $7$ queda
$g(g^{-1}(x))={\displaystyle \frac{7x}{7}}=x$


$\mathbf{\text{g)}}$ Llamamos $y$ al valor que devuelve la función:
$y={\displaystyle \frac{-7x+6}{10}}$
Para quitar el denominador multiplicamos en cruz:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{A}{B}}=C⟺A=B\cdot C}}$
$-7x+6=10y$
Pasamos el $6$ al otro lado:
$-7x=10y-6$
Y dividimos entre $-7$, ordenando el numerador:
$x={\displaystyle \frac{10y-6}{-7}}={\displaystyle \frac{6-10y}{7}}$
Ya está la $x$ despejada. Ahora intercambiamos los nombres de las dos variables: donde ponía $y$ escribimos $x$, y al revés. Es lo que dice la definición de función inversa:
$\boxed{{\displaystyle y=g(x)⟺x=g^{-1}(y)}}$
$y={\displaystyle \frac{6-10x}{7}}$
Y esa es la función inversa:
$g^{-1}(x)={\displaystyle \frac{6-10x}{7}}$
Comprobamos: al meter en la función lo que devuelve su inversa tiene que salir la $x$ de partida.
El numerador de la fracción vale
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle -7\cdot {\displaystyle \frac{6-10x}{7}}+6}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-(6-10x)+6=10x}\end{array}$
y al dividirlo entre $10$ queda
$g(g^{-1}(x))={\displaystyle \frac{10x}{10}}=x$